Abt. Alles, was Ihr nie wissen wolltet
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Der Rubik-Würfel gilt als Lehrbeispiel in einem Spezialgebiet der Mathematik, der sogenannten Gruppentheorie. Die Anzahl möglicher Planlagen eines 3x3x3 Rubik-Würfels bei feststehendem Kern beträgt 43 252 003 274 489 856 000 Stellungen. Die Gruppentheorie kümmert sich nun um Dreh-, Spiegel- und Zentralsymmetrien solcher abstrakten "Systeme". Wird beispielsweise die Vorderseite des Würfels 4 x nach links gedreht, landet man wieder bei der Ausgangsituation. Eine zweimalige Drehung nach links entspricht einer zweimaligen Drehung nach rechts und führt zur selben Situation. Eine dreimalige Drehung nach links entspricht einer einmaligen Drehung nach rechts - und vice versa. Dies gilt nun aber auch, wenn man die Drehrichtungen "links" und "rechts" miteinander vertauscht, ferner gilt es für alle sechs Würfelseiten, nicht nur für die Frontschicht.
Gruss
P.S.: Natürlich gibt es wieder einen erklärenden Spoiler (wen's halt interessiert).
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Die obige Positionen-Zahl ergibt sich folgendermaßen:
8 Ecksteine, die getauscht werden könnten: 8*7*6*5*4*3*2 mögliche Positionen.
Diese 8 Ecksteine können aber auf 3 Arten farblich orientiert sein: 3^8
12 Mittelstück-Ecken, die vertauscht werden könnten: 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2
und die zusätzlich noch in je 2 Richtungen schauen können: 2^12
Da der Kern feststehend bleibt, bleiben auch die jeweiligen Seiten-Mittelstücke fest - also kommen dadurch keine weiteren Möglichkeiten mehr dazu.
Die so entstehende Gesamtzahl aller Möglichkeiten, einen 3er-Rubikwüfel neu zusammenzusetzen, ergäbe 519.024.039.293.878.272.000 Positionen. Allerdings sind nicht alle diese Kombinationen in der Lage, einen auf jeder Seite einheitlich gefärben Rubik-Wüfel zu erzeugen: Der Standard-Rubikwürfel weist 12 "Universen" (unabhängige Gruppen) auf, bei denen Stellungen anderer Universen auch durch beliebig viele Drehungen nicht erreicht werden können! Daher:
519 024 039 293 878 272 000 / 12 = 43 252 003 274 489 856 000,
q.e.d.