Lösung zu NmR 24 ´Zersägter Würfel´
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Wir denken uns den Würfel (s=10 cm) mit der halben Höhe der linken vorderen Höhenkante in den Ursprung unseres Koordinatensystems (x, y, z). Dadurch liegt der Punkt B (in dem der gefragte Winkel erscheint) auf den Koordinaten (0, 0, 0). Punkt A ist dann in (5, -5, 0) und Punkt C auf (0, 5, 5).
Vektor a(B_A) ergibt sich aus A - B = (5 - 0, -5 - 0, 0 - 0) zu a = (5, -5, 0),
seine Länge | a | ist Sqrt( x^2+y^2+z^2) = Sqrt(25 + 25 + 0) = sqrt(50).
Vektor b(B_C) ergibt sich aus C - B = (0 - 0, 5 - 0, 5 - 0) zu b = (0, 5, 5),
seine Länge | b | ist Sqrt( 0 + 25 + 25) = Sqrt(50).
Der Cos(Alpha) des gesuchten Winkels Alpha ergibt sich aus a * b / (Sqrt(50)*Sqrt(50)) zu
(5 * 0 + -5*5 + 0*5) / (Sqrt(50))^2 = -25/50 = -0.5; das bedeutet aber:
Alpha° = ArcCos(-0.5) = 120 °
Probe: Wenn man einen Würfel wie beschrieben zerteilt, entsteht als Schnittfläche ein Regelmäßiges Sechseck. Der Innenwinkel zweier benachbarter Sechseckseiten beträgt bekanntlich 120 °.
q.e.d.