ALGORITHMEN - Teil XIX: Stromausfall im Aussenhirn

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    • Hallo p.specht,

      p. specht schrieb:

      @oldie-40: Stimmt genau! 8 ! Minuten sind genau 4 Wochen,
      10 ! Sekunden sind genau 6 Wochen, und damit um 50 % mehr.
      Natürlich stimmt meine Losung. !!

      Meine Lösung geht aber direkt zum Ziel, ohne den Umweg über die Wochen.

      Lässte jetzt noch beim oldie-40 das "e" weg, dann klappt es auch mit den Wienern. 8-)

      Ich finde die Rätsel sehr spannend, aber manchmal fehlt mir der Durchblick. :wacko:

      Tschau
    • Lösung zu AneR 22
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      Spoiler anzeigen

      Zwischen a und b liegt gemäß Standard-Bezeichnungen am Dreieck der Winkel Gamma, und für den gilt der Kosinus-Satz in folgender Version:

      c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(Gamma)

      Das kann man nach Gamma umstellen:
      c^2 - a^2 - b^2 = -2*a*b*cos(Gamma)
      (c^2 - a^2 - b^2)/(-2*a*b) = cos(Gamma)
      Gamma = ArcCos( (c^2 - a^2 - b^2)/(-2*a*b) ), bzw. konkret
      Gamma = ArcCos( (6^2 - 4^2 - 5^2)/(-2*4*5) )
      Gamma = ArcCos( (36 - 16 - 25)/(-2*20) )
      Gamma = ArcCos( (20 - 25)/(-40) )
      Gamma = ArcCos( (- 5)/(-40) )
      Gamma = ArcCos( 5/40 )
      Gamma = ArcCos(1/8)
      Gamma = ArcCos(0.125)
      Antwort: Der Winkel zwischen den Seiten a und b beträgt 82.819244 [°]

      P.S.: Wie man auf den ArcCos ohne ´Wissenschaftlichen Taschenrechner´ kommt:
      Acos_Rad(x) = Pi()/2 - ( x + 1/2*x^3/3 + 1/2*3/4*x^5/5 + 1/2*3/4*5/6*x^7/7 + ...+ ...)
      Acos_Grad(x) = 180/pi() * Acos_Rad(x)
      bzw. konkret:
      Acos_Rad(0.125)=3.14159/2 -
      (0.125+1/2*0.125^3/3+1/2*3/4*0.125^5/5 + 1/2*3/4*5/6*0.125^7/7)
      = 1.570795 - (0.125 + 0.000325521 + 0.000002289)
      =1.44546719, bzw. in Grad: 1.44546719*180/3.14159 = 82.81924 °

      Und falls die Programmiersprache nur den ArcTan kennt:

      Quellcode

      1. Proc ArcCosViaArcTan :parameters x!
      2. Declare ArcCos!
      3. If x!=1:ArcCos!=0
      4. ElseIf x!= -1:ArcCos!=Pi()
      5. ElseIf (x!<1) and (x>-1)
      6. ArcCos!=ArcTan(-x!/Sqrt((-x!*x!)+1)) + Pi()/2
      7. EndIf
      8. return ArcCos!
      9. ProcEnd




    • Lösung zu AneR 23
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      Die Frage nach der Fläche beantwortet u.a- der sog. Sinussatz:
      Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks mit Flächeninhalt F, und alpha, beta und gamma die jeweils gegenüber liegenden Winkel, ferner Ru der Radius des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion sin():


      a /sin(alpha) = b /sin(beta) = c /sin(gamma) = a*b*c / (2*F) = 2 * Ru

      Wir suchen F=a*b/2*sin(gamma), und setzen ein:
      F = 4 * 5 / 2 * sin(82.819°) = 9.9216 cm^2
      Antwort: Die Fläche des Dreiecks beträgt 9.9216 cm^2.

      Probe via Heron´scher Flächenformel:

      Sei s = (a+b+c)/2 , dann ist
      F = Sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))


      Konkret: s=(4+5+6)/2=7.5
      F = Sqrt(7.5*(7.5-4)*(7.5-5)*(7.5-6))=
      F = Sqrt(7.5*3.5*2.5*1.5) = Sqrt(98.4375) =
      F = 9.9216 cm^2, q.e.d.
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    • Lösung zu AneR 24
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      Um diese Aufgabe lösen zu können ist die Vorfrage zu klären, wo die Spitze des Dreiecks liegt, sprich: Wo Seite b und Seite c zusammenkommen. Geometrisch ließe sich das ja leicht klären, in dem man mit einem Zirkel von (0,0) den Radius c=6 cm aufträgt und von (4,0) den Radius b=5 cm. Im oberen Schnittpunkt der Kreise liegt dann die Dreiecksspitze.

      Das mit dem Zirkel geht aber auch arithmetisch. Man muss nur vorsichtig sein, weil dabei ganze Kreise definiert werden und es zumindest zwei Schnittpunkte zwischen zwei Kreisen gibt; einer davon ist unerwünscht.

      Ein Kreis um den Ursprung ist definiert durch die Gleichung

      x^2 + y^2 = Radius^2

      wobei unser Radius r in diesem Fall die Länge der Seite c hat
      (mit c = 6 cm) ==>
      (I) x^2 + y^2 = rc ^2 = 36

      Der andere Kreis hat den Mittelpunkt (4,0) und Radius b = 5 cm. Wir sehen, dass man den Mittelpunkt auf a=4 erst in den Nullpunkt ziehen muss, ihn also vom x-Wert abziehen muss:
      (x-a)^2 + y^2 = rb ^2 ,
      mit unseren konkreten Werten:
      (II) (x-4)^2 + y^2 = 25

      Aus (II)-(I) erhalten wir
      (x-4)^2 + y^2 - (x^2 + y^2 = rc ^2) = 25 - 36
      x^2-2*4*x+16 + y^2 - x^2-y^2 = -11
      x^2-x^2 -2*4*x+16 + y^2-y^2 = -11
      -2*4*x+16 = -11
      2*4*x-16 = 11
      8*x= 11 + 16
      x = 27/8 = 3.375 , und weil wir´s gleich brauchen werden: x^2 = 11.390625

      Aus (I) folgt y^2 = c^2 - x^2 bzw.
      y = Sqrt(36-x^2) = Sqrt(24.609) = 4.961

      Die Antwort zur Vorfrage lautet also:
      Die Dreieckspitze liegt bei (x=3.375 ,y=4.961)
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      Damit wird die Aufgabe nun leicht: Wir wissen, daß der Dreiecksschwerpunkt
      im arithmetischen Mittel der Eckkoordianten liegt!

      Sx = ((0,_)+(4,_)+(3.375,_))/3 = 2.458333
      Sy = ((_,0)+(_,0)+(_,4.961))/3 = 1.653666

      Antwort: Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt in (x=2.458, y=1.654) [cm].
    • Abt. AneR 25 ´Dreiecks-Inkreis´
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      Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4, b=5 und c=6 cm. Seine Seite a reicht vom x-y-Koordinatenursprung (0,0) bis zum Punkt (x=4, y=0), wo die Seite b in den positiven y-Bereich startet. Wo liegt sein Inkreismittelpunkt und wie gross ist der Inkreisradius? (Lösungen aus den vorigen Rätselfragen dürfen verwendet werden).

      P.S.: Sorry für das "Eckkoordianten" da oben, sollte natürlich Eckkoordinaten heissen ...

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von p. specht ()

    • Lösung zu AneR 25
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      Mit Seiten a,b,c und gegenüberliegenden Ecken (Ax,Ay), (Bx.By), (Cx,Cy):

      Ix = (a*Ax + b*Bx + c*Cx)/(a+b+c)
      Iy = (a*Ay + b*By + c*Cy)/(a+b+c)
      Der Inkreisradius beträgt Ir = 2*Fläche/Umfang.


      Konkret: Ir = 2*9.9216/(4+5+6) = 1.3229 cm
      und mit B(Bx=0,By=0), (Cx=4,Cy=0), A(Ax=3.375,Ay=4.961) gilt

      Ix = (a*3.375 + b*0 + c*4)/(a+b+c)
      Ix = (4*3.375 + 6*4)/15 = (13.5 + 24)/15 = 37.5/15 = 2.5 ,

      Iy = (a*4.961 + b*0 + c*0)/(a+b+c)
      Iy = 4*4.961/15 = 1.3229

      Antwort: Der Inkreisradius hat den Mittelpunkt bei x=2.5 cm, y=1.3229 cm und den Radius Ir = 1.3229 cm.
    • Abt. AneR 2& ´Dreiecks-Umkreis´
      ==============================
      Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4, b=5 und c=6 cm. Seine Seite a reicht vom x-y-Koordinatenursprung (0,0) bis zum Punkt (x=4, y=0), von wo die Seite b in den positiven y-Bereich startet. Wo liegt sein Umkreismittelpunkt und wie gross ist der Umkreisradius? (Lösungen aus den vorigen Rätselfragen dürfen verwendet werden).
    • Lösung zu AneR 26
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      Der Umkreis hat die Eigenschaft, alle drei Ecken des Dreiecks zu
      berühren. Deshalb ist sein Radius "von allen Ecken gleich weit weg".

      Um von zwei Ecken gleich weit weg zu sein, muss dieser Punkt auf der
      Streckensymetrale der Seite liegen, sprich: Er muss auf einer Normalen
      liegen, die durch den halbierenden Punkt einer Dreiecksseite geht.

      Gleiches gilt für andere zwei Ecken des Dreiecks. Im Schnittpunkt
      mindestens zweier seitenhalbierender Normalen muss dann der
      Umkreismittelpunkt liegen, der alle drei Ecken berührt - und so kann
      man ihn auch arithmetisch berechnen:
      ---------

      (1) Die Eck-Koordinaten unseres Dreiecks lauten
      B=(0, 0), C=(4, 0), A=(3.375, 4.961)

      Der halbierende Punkt zwischen B und C liegt im arithmetischen Mittel
      der entsprechenden Eck-Koordinaten:
      BC/2 = BC_halbe = BCH = ((0, 0)+(4, 0))/2 = (4/2, 0)= (2,0);

      Ähnlich für die Strecke von C nach der Dreieck-Spitze A:
      CA/2 = CAH = ((3.375, 4.961)+(4, 0))/2 = (3.6875, 2.4805)
      ---------

      (2) Die allgemeine Geradengleichung einer Dreiecksseite lautet

      y = (yC - yA)/(xC - xA)*(x - x_dreh ) + y_dreh

      mit y_dreh = Drehpunkt, falls sich die Steigung der Geraden ändert.
      Anm.: Die Steigung k = tan(180°-gamma) dieser Gerade ist der obige
      Ausdruck (yC-yA)/(xC-xA).
      ---------

      (3) Interessanter Weise entsteht eine Normale im Drehpunkt auf die Gerade
      durch Änderung von k auf -1/k, in unserem Fall also auf -(xC-xA)/(yC-yA)
      Die Gleichung einer Streckennormalen im halbierenden Punkt lautet daher:

      y = (xA-xC)/(yC-yA)*(x - x_dreh )+y_dreh,

      bzw. mit dem oben berechneten Drehpunkt CAH = (3.6875, 2.4805):
      y = (xA-xC)/(yC-yA)*(x - xCAH)+yCAH

      Ähnlich für die Seitennormale im halbierenden Punkt von B nach C:

      y = (xC-xB)/(yB-yC)*(x - xBCH) + yBCH, mit BCH=(2,0)
      ---------

      (4) Die obgenannten beiden Normalengleichungen schneiden sich im Umkreis-
      mittelpunkt. Arithmetisch "schneidet" man folgendermaßen:

      Beide Normalen haben im Schnittpunkt die selbe "Höhe" y. Man kann dort die
      beiden Normalengleichungen also gleichsetzen. Im Allgemeinen ergeben sich
      dadurch folgende Formeln:

      Sei d = 2*(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2) , dann gilt:

      x_Umkreismittelpunkt =
      ( (x1^2+y^2)*(y2-y3)+(x2^2+y2^2)(y3-y1)+(x3^2+y3^2)*(y1-y2) )/d

      y_Umkreismittelpunkt =
      ( (x1^2+y^2)*(x3-x2)+(x2^2+y2^2)(x1-x3)+(x3^2+y3^2)*(x2-x1) )/d

      Der Umkreis-Radius R_u lässt sich u.a. aus dem Sinussatz errechnen zu

      R_u = a / (2*sin(alpha)) = b / (2*sin(beta)) = c / (2*sin(gamma))

      oder aus den Seitenlängen und der Dreiecksfläche F zu R_u = a * b * c / (4* F)
      ---------

      (5) Im konkreten Beispiel kommt vereinfachend hinzu, dass die Normale auf die
      Seite a (von Ecke B nach C) vertikal liegt und daher die Gleichung hat:

      x = xBCH = 2, y = beliebig.

      Wir setzen ein, und erhalten für den Umkreismittelpunkt die Koordinaten:
      x = 2
      y = (3.375 - 4)/(0 - 4.961)*(2 - 3.6875) + 2.4805 = 2.269904

      Der Umkreis-Radius ergibt sich auch als Euklidische Distanz zwischen diesem
      Kreismittelpunkt und einem beliebigen Eckpunkt, z.B. Ecke B=(0,0):

      R_umkreis = SQRT( (0-2)^2 + (0-2.269904)^2) = SQRT( 4 + 5.152446) = 3.02530417
      ---------

      Antwort: Der Umkreis des Dreiecks hat den Radius R_umkreis = 3.0253 cm
      mit seinem Kreismittelpunkt an der Stelle (x = 2 cm, y = 2.2699904 cm).

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    • Abt. AneR 27 ´Bolivatikanisches Festtagsgericht´
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      Aitar ist ein bolivatikanisches Festgericht. Eine Portion enthält 2 Knitschis und 4 Zumpinen. Die abgepackten Ingredienzien dafür kosten am Markt 22 bK (bolivatikanische Kazunken). Max nagt gerne an Zumpinen, erinnert sich aber nur, dass er gestern 5 Knitschis für 15 Kazunken gekauft hat. Er will 3 Zumpinen für´s Büro mitnehmen - Was wird ihn das kosten?
    • Hallo p.specht,

      p. specht schrieb:

      Er will 3 Zumpinen für´s Büro mitnehmen - Was wird ihn das kosten?
      Ich vermute mal 12 Kazunken.

      Habe aber keine Ahnung von Knitschis und Zumpinen.

      Die Knitschis kosten ja pro Stück ca. 3 Kazuken.

      => 22 Kazunken = (2 Knitschis a. 3 Kazunken = 6 Katzunken) + (4 Zumpinen)
      => 16 Kazunken = 4 Zumpinen
      => 4 Kazunken = 1 Zumpine

      Das ist aber nur eine Kopflösung.

      Kazunken, Knitschis und Zumpinen kenne ich nicht. :pfeifend:

      Tschau
    • @oldi-40: Die gibts ja auch nicht. Aber deine Lösung zu AneR 27 ist völlig korrekt:
      Antwort: 3 Zumpinen (Z) kosten 12 bolivatikanische Kazunken (bK).

      Spoiler anzeigen

      Mathematisch: Preis = Kosten / Menge, bzw.
      15 bK / 5 Knitschis = 3 [bK/Knitschi]

      Das Aitar-Set kostet
      2 [K] * 3 [bK/K] + 4 [Z] * x [bK/Z] = 22 [bK]

      woraus sich der Preis für 1 Zumpine errechnen lässt:
      4 * x = 22 - 2 * 3
      x = 16/4 = 4 [bK/Z]

      3 Zumpinen will Max benagen, diese kosten ihn daher
      3 * 4 [bK/Z] = 12 [bK]
      Mahlzeit!

      P.S.: Ein Land namens Bolivatikan gibt´s auch nicht.
    • Abt. AneR 29 ´Drei Mäuse´
      =========================
      Drei Mäuse klauten ein Stück Käse. Die erste Maaus fraß davon ein Drittel, die zweite ein Drittel vom verbliebenen Teil, und die dritte ein Drittel vom verbliebenen Rest. Frage: Wie verhalten sich die gefressenen Käse-Anteile der drei Mäuse untereinander?
    • Lösung zu AneR 29
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      Spoiler anzeigen

      Ausgangspunkt ist 1 Käsestück:
      Die erste Maus frisst 1/3.

      Verbleibender Rest = 1 - 1/3 = 2/3 Käsestück:
      Die zweite Maus frisst davon ein Drittel:
      2/3 * 1/3 = 2/9

      Verbleibender Rest: 2/3 - 2/9 = 4/9
      Die dritte Maus frisst davon ihr Dritel:
      4/9 * 1/3 = 4/27

      Die Mäuse haben also Käse im Verhältnis
      1/3 zu 2/9 zu 4/27 gefressen.

      Betrachtet man die insgesamt gefressene Menge (70.37037037 %
      des ursprünglichen Käsestücks) als 100%, dann sind die Anteile der
      Mäuse 47.37 % zu 31.58 % zu 21.05 %.

      Formelbeispiel für Maus 2: (2/9) / (1/3 + 2/9 + 4/27) * 100 = 31.58 %
    • Was kommt nach 29 ? Genau: Der Nachtrag von ...

      Abt. Ausnahmsweise noch ein Rätsel - AneR 28
      ===================================
      Der rüstige Rentner Max und sein Dackel Lexi starten zu einem täglichen Spaziergang zum 3 km entfernten Kiosk, um eine Tageszeitung zu kaufen. Der Kioskverkäufer weiss das schon, und wenn Max vorbeikommt, braucht die Zeitungs- und Geldübergabe fast keine Zeit.

      Max kann also nach 3 km sofort nach Hause umkehren. Sein Lexi ist für einen Hund schon sehr alt, und bewegt sich daher nur mit der halben Geschwindigkeit von Max. Auf dem Heimweg trifft Max also seinen Lexi, der dann - unter Beibehaltung seiner eigenen Geschwindigkeit - auch umkehrt.

      Frage: Welche Strecke hat Dackel Lexi am Ende seines Spaziergangs zurückgelegt?
    • Hallo p.specht,


      p. specht schrieb:

      die zweite ein Drittel vom verbliebenen Teil, und die dritte ein Drittel vom verbliebenen Rest.
      Damit hatte ich meine Probleme. :wacko:

      p. specht schrieb:

      Was kommt nach 29 ?
      Der 1. März?

      p. specht schrieb:

      Welche Strecke hat Dackel Lexi am Ende seines Spaziergangs zurückgelegt?
      Der Dackel läuft wohl 2 km, das Herrchen 2*2 km = 4 km ( 3 km vor und 1 km zurück).

      p. specht schrieb:

      mit der halben Geschwindigkeit von Max
      Da hast Du doch die Lösung schon geliefert.

      Tschau