Abt. PR 20
========
Auf einer 120 km langen eingleisigen Bahnstrecke, auf der die Züge mit durchschnittlich 60 km/h fahren, soll eine halbstündige Abfahrtsmöglichkeit sichergestellt werden. Wieviele Zugsgarnituren benötigt man da, wieviele Ausweichstellen sind erforderlich und bei welchen Bahnkilometern müssen sie errichtet werden?
ALGORITHMEN - Teil XXII: Paradoxe Paradoxien
-
p. specht -
6. September 2019 um 19:13 -
Geschlossen
-
-
-
Lösung zu PR 19 ´Gegemzug´
---------------------------Spoiler anzeigen
Zwei Züge starten zur selben Zeit (Zur Vereinfachung: t0 = 0)
Der eine fährt von Liverpool nach London, (Streckenlänge s [km]),
der andere, ein Schnellzug, von London nach Liverpool (auch s [km],
d.h. sie begegnen sich zut Zeit t_Begegnung = tb [h])Allgemein gilt die Formel Gesamt-Weg = Geschwindigkeit mal Fahrzeit,
( Für die Züge 1 und 2: s = v1 * t1 = v2 * t2 )Der eine Zug kommt eine Stunde nach der Begegnung der beiden Züge ab,
also zur Zeit tb +1, der andere zur Zeit tb+4, beide haben da die Gesamtstrecke
bewältigt:
s = v1 * (tb + 1) = v2 * (tb+4)Da die Züge in entgegengesetzter Richtung fahren, ergeben die Fahrzeiten
seit Begegnungszeit tb zusammen wieder die Gesamtstrecke s [km], wobei
sich die Geschwindigkeiten addieren (wir fahren ja nicht Lichtgeschwindigkeit ).
s = (v1 + v2) * tbDaher kann man diese obigen Streckenformeln jeweils gleichsetzen:
s = v1 * (tb + 1) = (v1 + v2) * tb
v1*tb + 1*v1 = v1*tb + v2*tb | - v1*tb
v1 = v2 * tb
==> tb = v1 / v2s = v2 * (tb + 4) = (v1 + v2) * tb
v2*tb + 4 * v2 = v1*tb + v2 * tb | - v2*tb
4 *v2 = v1 * tb
==> tb= 4*v2/v1Diese tb-Formeln kann man nun auch gleichsetzen:
tb = v1 / v2 = 4*v2 / v1 , ausmultipliziert:
v1*v1 = 4 * v2*v2, bzw.v1^2 = 4 * v2^2
Wir ziehen auf beiden Seiten die Quadratwurzel und erhalten:
v1 = 2 * v2
oder in Worten:
Antwort: Der Schnellzug fährt doppelt so schnell wie sein Gegenzug. -
Lösung zur ersten Teilfrage von PR 20 `Eingleisig´
-------------------------------------------------------Spoiler anzeigen
Streckenlänge 120 km, Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km/h ==> Fahrzeit pro Strecke 2 h
Roundtrip-Zeit = 2 * Fahrzeit = 4 Stunden, d.h.:
1 Zug wäre in 4 Stunden wieder zurück.
Bei 2 Zügen, zeitlich gleichmäßig verteilt, wäre alle 2 Stunden eine Abfahrtsmöglichkeit.
Bei 4 Zügen jede Stunde
Bei 8 Zügen jede halbe Stunde (wie gefordert).
Wir benötigen deshalb im Prinzip mindestens 8 Zugsgarnituren... und vermutlich 7 Ausweichstellen auf je halbem Streckenabschnitt sowie eine in einem Kopfbahnhof,
wobei der andere dann eine Remise für 8 Garnituren haben müsste. Eisenbahnfreunde vor!
Das Rätsel ist dazu nicht genau genug spezifiziert, ich werde das mal simulieren ...
Gruss -
Auf einer 120 km langen eingleisigen Bahnstrecke, auf der die Züge mit durchschnittlich 60 km/h fahren, soll eine halbstündige Abfahrtsmöglichkeit sichergestellt werden.
Ich versuch's mal, ohne in den Spoiler zu schauen:
Für 120 km benötigt ein Zug bei 60 km/h 2h.
Bei halbstündlicher Abfahrt sind in eine Richtung also erst mal 5 Züge auf dem Gleis:
Z1 kommt am Ziel an (km 120)
Z2 befindet sich bei km 90
Z3 befindet sich bei km 60
Z4 befindet sich bei km 30
Z5 fährt gerade ab (km 0)Nun ist es aber so, dass Z1 NICHT SOFORT bei Ankunft wieder abfahren kann, (die Fahrgäste müssen ja erst aus- und einsteigen!) also muss Standzeit mit eingerechnet werden!
Ich rechne mal mit 6 min Standzeit.(Geändert! Geht nicht auf mit 6 min...! Er muss das Einlaufen von Z2 30 min später abwarten, sonst gibt es Chaos!)Da Z1 erst 2:30h (150 min) später wieder am Abfahrtort bei km 0 ist (s.o.), können bis zu seiner Ankunft noch 4 weitere Züge abfahren, Z 6, 7, 8 und 9 nach 30, 60, 90 und 120 min.
Nun muss Z1 ja aber auch an diesem Bahnhof 30 min warten. Also muss derweil Z10 nach 150 min fahren, um die 30-minütige Abfahrt sicher zu stellen.
Der Fahrplan für Z1 sieht also so aus:
Abfahrt bei min0
Ankunft bei min120
Abfahrt rück bei min150
Ankunft rück bei min270
erneute Abfahrt bei min300Zu den Ausweichstellen:
Fährt Z1 in Gegenrichtung (Rückfahrt) ab, und Z2 kommt an. Z3 hat derweil km 90 erreicht.
Z1 und Z3 begegnen sich also 15 min/km später, bei km 105.Z4 ist derweil bei km 75.
15 min später begegnen sich Z1 und Z4 bei km 90.
u.s.w.Ausweichstellen werden also benötigt bei km 15, 30, 45, 60, 75, 90 und 105.
In Summe: 7Z1 erreicht nach 4.30h wieder km 0, während Z9 abfährt. 30 min später beginnt Z1 als Z5 (s.o.) von vorn.
Frage: Wieviele Zugsgarnituren benötigt man da, wieviele Ausweichstellen sind erforderlich und bei welchen Bahnkilometern müssen sie errichtet werden?
Antwort: Benötigt werden 10 Zuggarnituren, 7 Ausweichstellen bei (s.o.), und jeder Bahnhof muss parallel 2 Züge aufnehmen können: den Einfahrenden und den 30 min Wartenden.
Rabe
-
Hier die Positionen der 10 Züge im 15 min / 15 km - Raster im Überblick (nur die ersten 500 min..)..
Lauf von Zug 1 (Z1) ist hervorgehoben.
Z1,8 bedeutet: An dieser Position befinden sich zum Zeitpunkt x die Züge 1 und 8.
Rabe
-
Natürlich kann man sich fragen: MUSS denn jeder Zug 30 min stehen? Kann man bei kürzerer Standzeit nicht einen Zug einsparen?
Doch, man kann!
Bei nur 15 min Standzeit kommt man tatsächlich mit 9 Zügen aus.
Allerdings brauch man dann eine Ausweichstrecke mehr...Die Kosten bleiben also etwa gleich - dafür wird das Zuggeflecht wesentlich komplexer...
Rabe
PS: Leider kann ich's oben nicht mehr korrigieren: Die Tabelle oben hat bei 180min/75km einen Kopierfehler. Denkt Euch den Eintrag dort (Z1,5) einfach weg...
-
Tolle Leistung zur Lösung von PR 20, @ravenheart !
-----------------------------------------------------------Spoiler anzeigen
Da ich bei meiner Variante ohne Standpause in den Kopfbahnhöfen gerechnet habe (Fahrerwechsel, ca. 10-11 Lokführer/-innen pro Schicht nötig), geht´s theoretisch auch mit acht Zugsgarnituren, die aber ohne Lok-Umspannen auskommen müssten. Wenn Pausen einzuplanen sind, könnten die Garnituren auf den letzten Streckenabschnitten vor dem Kopfbahnhof auch etwas schneller fahren, schließlich sind die 60 km/h eine Durschnittsgeschwindigkeit. Oder man macht die letzten Streckenabschnitte entsprechend kürzer.Fragen 2 und 3: Bei 7 Ausweichstellen auf der Strecke (meist auch Stationen) wären diese meines Erachtens bei Bahnkilometern 60-3*17.15, 60-2*17.15, 60-17.15, genau bei 60 km, 60+17.15, 60+2*17.15, 60+3*17.15 zu errichten.
Meine Idee, die Remise nur an einem Kopfbahnhof anzusiedeln, war doooooof: Der erste Zug in der Früh braucht dann viel zu lange, bis er Passagiere vom anderen Ende der Bahnstrecke abholen kann. Besser wäre Gleichverteilung der Remisen auf der Strecke, aber das geht natürlich auch wieder in der Praxis nicht. Also gilt allgemein: Remisen je nach finanzieller Rentabilität möglichst über die Strecke verteilen, um rasche Betriebsaufnahme auf der gesamten Strecke zu ermöglichen und überall eine Versorgung der Bahngäste bis möglichst spät in die Nacht sicherzustellen.
Das Rätsel ist also zumindest nicht trivial. Wenn unsere Bahn also nicht immer pünklich ist, hat das schon seine Gründe.
Gruss -
Abt. PR 21
=======
Bitte Kopfrechnen: Addiere ohne Hilfsmittel im Geiste Eintausendundzwanzig zu Eintausendundzwanzig, dann addiere zum Ergebnis Zwanzig, nochmal Zwanzig dazu, nun Zehn dazu und nochmal Zehn dazu. Was kommt heraus?Spoiler anzeigen
3000 kommt NICHT heraus - das sagen aber die meisten Leute!Ein Computer würde sagen 2100, in Worten: Zweitausendeinhundert.
Aber der macht das auch nicht im Kopf
Gruss -
Abt. PR 22 ´Nachnamen´
================
Ein Ahne hinterließ seinen drei Nachkommen und ihren Frauen insgesamt 10.000,- Eur. Die Frauen erhielten zusammen 3960.- Eur. Johanna erhielt 100,- Eur mehr als Katherina, und Maria erhielt 100,- Eur mehr als Johanna. Alle drei Frauen namen den Nachnamen ihrer Männer an. Joseph Schmidt erhielt genausoviel wie seine Frau, Heinrich Schnuck erhielt um 50 % mehr als seine Frau, und Thomas Kräher erhielt doppelt soviel wie seine Frau. Welchen Nachnamen tragen die drei Ehefrauen? -
Lösung PR 22 'Nachnamen'
Spoiler anzeigen
Schmidt, Schnuck und Kräher, was gibt es da zu rechnen
-
Aber wieso tragen denn die männlichen Nachkommen (= Söhne) unterschiedliche Nachnamen?
-
Wie heisst der Thread nur schon?
-
Alles klar!
Die 3 Söhne haben verschiedene Mütter und der Vater hat jeweils bei der Hochzeit den Namen der Frau angenommen. -
Genau. Der Joseph Schmidt konnte singen, der Heinrich wurde ein Schnuckelchen und krähen kann schliesslich auch nicht jeder.
-
Ihr habt alle recht: Korrektur zu PR 22: Statt "und ihren Frauen" muss es heißen "bzw. ihren Ehepartnern." Auch die Frauen können ja Kinder des Erb-lassers sein, und deren Männer Schwiegersöhne. Also ist derzeit wieder alles offen.
-
Ein Ahne hinterließ seinen drei Nachkommen und ihren Frauen
Korrektur zu PR 22: Statt "und ihren Frauen" muss es heißen "bzw."
"bzw. ihren Frauen" allein ändert doch nichts an der Sachlage. Die Nachkommen sind ja dann immer noch alles Söhne. "Nachkomminnen" gibt es als Begriff nicht. Müsste es deshalb nicht heissen:
Ein Ahne hinterliess seinen drei Nachkommen bzw. ihren Ehepartnern/Ehepartnerinnen ...
-
Herr Specht, Du kannst nicht einfach korrigieren, während ich schreibe.
Alles klar, die Nachkommen mit Anhang sind aufgedröselt.
-
Viel zu komplizierte Lösung zum korregierten PR 22
---------------------------------------------------------
(Sorry Leitln, deitsches Sproch schweres Sproch, gendern ibahaubt!)Spoiler anzeigen
Ein Ahne hinterließ seinen drei Nachkommen und deren Ehepartnern insgesamt 10.000,- Eur.
Die Frauen erhielten zusammen 3960.- Eur.3 Männer + 3 Frauen = 10000
3 Männer + 3960 = 10000
==> 3 Männer = 10000 - 3960 = 6040,-Johanna erhielt 100,- Eur mehr als
Katherina: J = K + 100
Maria erhielt 100,- Eur mehr als Johanna: M = J + 100 = K + 200
Alle drei Frauen namen den Nachnamen ihrer Männer an.Joseph Schmidt erhielt genausoviel wie seine Frau: JSi = xSi
Heinrich Schnuck erhielt um 50 % mehr als seine Frau: HSu = 1.5*ySu
Thomas Kräher erhielt doppelt soviel wie seine Frau. TKr = 2*zKr
Welche Nachnamen tragen die drei Ehefrauen?JSi = xSi
HSu = 1.5*ySu
TKr = 2*zKr
...wird später substituiert eingesetzt in JSi + HSu + TKr = 6040Die noch unbekannte Zuweisung der weiblichen Vornamen an die männlichen Nachnamenskürzeln bezeichnen wir mit
x, y und z. Wir wissen (ohne noch die Reihenfolge zu kennen):
xSi + ySu + zKr = J + K + M = 3960
J und K können als Funktion von M dargestellt werden:
M = J + 100 ==> J = M - 100
M = K + 200 ==> K = M - 200
Das setzen wir ein in J + K + M = 3960
M-100 + M-200 + M = 3960
M + M + M - 300 = 3960
3*M = 4260
und wissen nun, was die einzelnen Damen bekommen haben:
==> M = 1420, J = M - 100 = 1320, K = M - 200 = 1220
Zwischenprobe: 1420 + 1320 + 1220 = 3960.Weiters haben wir Angaben zu den Ehemännern:
JSi = xSi
HSu = 1.5*ySu
TKr = 2*zKr
was wir einsetzen können in
JSi + HSu + TKr = 6040
Ziel ist also, zu prüfen ob
xSi + 1.5*ySu + 2*zKr = 6040 (!)Es gibt 6 Möglichkeiten, M=1420, J=1320, K=1220 jeweils permutiert einzusetzen:
x=M, y=J, z=K: 1420_Si + 1.5*1320_Su + 2*1220_Kr = 5840 < 6040
x=M, y=K, z=J: 1420_Si + 1.5*1220_Su + 2*1320_Kr < 6040
x=J, y=M, z=K: 1320_Si + 1.5*1420_Su + 2*1220_Kr < 6040
x=J, y=K, z=M: 1320_Si + 1.5*1220_Su + 2*1420_Kr < 6040
x=K, y=M, z=J: 1220_Si + 1.5*1420_Su + 2*1320_Kr < 6040
x=K, y=J, z=M: 1220_Si + 1.5*1320_Su + 2*1420_Kr = 6040 = 6040 (!) <<< Schau an!Antwort: Die Frauen (KSi, JSu und MKr) heißen mit vollem Namen:
Katharina Schmidt, Johanna Schnuck und Maria Kräher.
=======================================
Na bittte, geht ja! -
Abt. PR 23
=======
Am Geflügelmarkt wurden drei Hühner und eine Ente zum selben Preis gehandelt wie zwei Gänse. Ein Käufer orderte ein Huhn, zwei Enten und drei Gänse und bezahlte dafür 25 Eur. Was kosteten die Vögel einzeln, wenn keine Centbeträge gezahlt wurden? -
Lösung zu PR 23
-----------------Spoiler anzeigen
Am Geflügelmarkt wurden drei Hühner und eine Ente zum selben Preis gehandelt wie zwei Gänse:
3 H + 1 E = 2 G
Ein Käufer orderte ein Huhn, zwei Enten und drei Gänse und bezahlte dafür 25 Eur:
1 H + 2 E + 3 G = 25
Was kosteten die Vögel einzeln, wenn keine Centbeträge gezahlt wurden?:
Ganzzahligkeitsbedingung (`Diophantische Gleichung´)3 H + 1 E = 2 G ==> 3/2 H + 1/2 E = 1 G;
einsetzen in 1 H + 2 E + 3 G = 25 liefert
1 H + 2 E + 3 (3/2 H + 1/2 E) = 25
1 H + 2 E + 9/2 H + 3/2 E = 25
11/2 H + 7/2 E = 25, besser *2:
11 H + 7 E = 50Wir suchen also ganzzahlige Preise für H und E, die diese Gleichung erfüllen.
Eigentlich wäre nun der "Erweiterte Euklidische Algorithmus" dran, aber es geht einfacher:
Kleine Elferzahlen sind daran zu erkennen, daß Zehner und Einer die gleiche Ziffer haben.
Wir suchen also 50 - 7* E = Elferzahl, und probieren:E=1: 50 - 7*1 = 43 (keiner Elferzahl)
E=2: 50 - 14 = 36 (auch nicht)
E=3: 50 - 21 = 29 (Nö)
E=4: 50 - 28 = 22 = 11 * 2 (YES!)
==> E = 4 Eur, H = 2 EurFehllt noch G, der Preis für Gänse, aus 3 H + 1 E = 2 G ermittelbar:
3*2+1*4 = 2 G ==> 6 + 4 = 2 G ==> G = 5
Antwort: Ein Huhn kostet 2 Eur, eine Ente 4 Eur und eine Gans 5 Eur. -
Jetzt mitmachen!
Sie haben noch kein Benutzerkonto auf unserer Seite? Registrieren Sie sich kostenlos und nehmen Sie an unserer Community teil!