ALGORITHMEN - Teil XXII: Paradoxe Paradoxien

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      Abt. PR 20
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      Auf einer 120 km langen eingleisigen Bahnstrecke, auf der die Züge mit durchschnittlich 60 km/h fahren, soll eine halbstündige Abfahrtsmöglichkeit sichergestellt werden. Wieviele Zugsgarnituren benötigt man da, wieviele Ausweichstellen sind erforderlich und bei welchen Bahnkilometern müssen sie errichtet werden?
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      Lösung zu PR 19 ´Gegemzug´
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      Spoiler anzeigen

      Zwei Züge starten zur selben Zeit (Zur Vereinfachung: t0 = 0)
      Der eine fährt von Liverpool nach London, (Streckenlänge s [km]),
      der andere, ein Schnellzug, von London nach Liverpool (auch s [km],
      d.h. sie begegnen sich zut Zeit t_Begegnung = tb [h])

      Allgemein gilt die Formel Gesamt-Weg = Geschwindigkeit mal Fahrzeit,
      ( Für die Züge 1 und 2: s = v1 * t1 = v2 * t2 )

      Der eine Zug kommt eine Stunde nach der Begegnung der beiden Züge ab,
      also zur Zeit tb +1, der andere zur Zeit tb+4, beide haben da die Gesamtstrecke
      bewältigt:
      s = v1 * (tb + 1) = v2 * (tb+4)

      Da die Züge in entgegengesetzter Richtung fahren, ergeben die Fahrzeiten
      seit Begegnungszeit tb zusammen wieder die Gesamtstrecke s [km], wobei
      sich die Geschwindigkeiten addieren (wir fahren ja nicht Lichtgeschwindigkeit :-) ).
      s = (v1 + v2) * tb

      Daher kann man diese obigen Streckenformeln jeweils gleichsetzen:

      s = v1 * (tb + 1) = (v1 + v2) * tb
      v1*tb + 1*v1 = v1*tb + v2*tb | - v1*tb
      v1 = v2 * tb
      ==> tb = v1 / v2

      s = v2 * (tb + 4) = (v1 + v2) * tb
      v2*tb + 4 * v2 = v1*tb + v2 * tb | - v2*tb
      4 *v2 = v1 * tb
      ==> tb= 4*v2/v1

      Diese tb-Formeln kann man nun auch gleichsetzen:
      tb = v1 / v2 = 4*v2 / v1 , ausmultipliziert:
      v1*v1 = 4 * v2*v2, bzw.

      v1^2 = 4 * v2^2

      Wir ziehen auf beiden Seiten die Quadratwurzel und erhalten:
      v1 = 2 * v2
      oder in Worten:

      Antwort: Der Schnellzug fährt doppelt so schnell wie sein Gegenzug.
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      Lösung zur ersten Teilfrage von PR 20 `Eingleisig´
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      Streckenlänge 120 km, Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km/h ==> Fahrzeit pro Strecke 2 h
      Roundtrip-Zeit = 2 * Fahrzeit = 4 Stunden, d.h.:
      1 Zug wäre in 4 Stunden wieder zurück.
      Bei 2 Zügen, zeitlich gleichmäßig verteilt, wäre alle 2 Stunden eine Abfahrtsmöglichkeit.
      Bei 4 Zügen jede Stunde
      Bei 8 Zügen jede halbe Stunde (wie gefordert).
      Wir benötigen deshalb im Prinzip mindestens 8 Zugsgarnituren

      ... und vermutlich 7 Ausweichstellen auf je halbem Streckenabschnitt sowie eine in einem Kopfbahnhof,
      wobei der andere dann eine Remise für 8 Garnituren haben müsste. Eisenbahnfreunde vor!
      Das Rätsel ist dazu nicht genau genug spezifiziert, ich werde das mal simulieren ...
      Gruss