ALGORITHMEN - Teil XXII: Paradoxe Paradoxien

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      Abt. PR 20
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      Auf einer 120 km langen eingleisigen Bahnstrecke, auf der die Züge mit durchschnittlich 60 km/h fahren, soll eine halbstündige Abfahrtsmöglichkeit sichergestellt werden. Wieviele Zugsgarnituren benötigt man da, wieviele Ausweichstellen sind erforderlich und bei welchen Bahnkilometern müssen sie errichtet werden?
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      Lösung zu PR 19 ´Gegemzug´
      ---------------------------
      Spoiler anzeigen

      Zwei Züge starten zur selben Zeit (Zur Vereinfachung: t0 = 0)
      Der eine fährt von Liverpool nach London, (Streckenlänge s [km]),
      der andere, ein Schnellzug, von London nach Liverpool (auch s [km],
      d.h. sie begegnen sich zut Zeit t_Begegnung = tb [h])

      Allgemein gilt die Formel Gesamt-Weg = Geschwindigkeit mal Fahrzeit,
      ( Für die Züge 1 und 2: s = v1 * t1 = v2 * t2 )

      Der eine Zug kommt eine Stunde nach der Begegnung der beiden Züge ab,
      also zur Zeit tb +1, der andere zur Zeit tb+4, beide haben da die Gesamtstrecke
      bewältigt:
      s = v1 * (tb + 1) = v2 * (tb+4)

      Da die Züge in entgegengesetzter Richtung fahren, ergeben die Fahrzeiten
      seit Begegnungszeit tb zusammen wieder die Gesamtstrecke s [km], wobei
      sich die Geschwindigkeiten addieren (wir fahren ja nicht Lichtgeschwindigkeit :-) ).
      s = (v1 + v2) * tb

      Daher kann man diese obigen Streckenformeln jeweils gleichsetzen:

      s = v1 * (tb + 1) = (v1 + v2) * tb
      v1*tb + 1*v1 = v1*tb + v2*tb | - v1*tb
      v1 = v2 * tb
      ==> tb = v1 / v2

      s = v2 * (tb + 4) = (v1 + v2) * tb
      v2*tb + 4 * v2 = v1*tb + v2 * tb | - v2*tb
      4 *v2 = v1 * tb
      ==> tb= 4*v2/v1

      Diese tb-Formeln kann man nun auch gleichsetzen:
      tb = v1 / v2 = 4*v2 / v1 , ausmultipliziert:
      v1*v1 = 4 * v2*v2, bzw.

      v1^2 = 4 * v2^2

      Wir ziehen auf beiden Seiten die Quadratwurzel und erhalten:
      v1 = 2 * v2
      oder in Worten:

      Antwort: Der Schnellzug fährt doppelt so schnell wie sein Gegenzug.
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      Lösung zur ersten Teilfrage von PR 20 `Eingleisig´
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      Spoiler anzeigen

      Streckenlänge 120 km, Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km/h ==> Fahrzeit pro Strecke 2 h
      Roundtrip-Zeit = 2 * Fahrzeit = 4 Stunden, d.h.:
      1 Zug wäre in 4 Stunden wieder zurück.
      Bei 2 Zügen, zeitlich gleichmäßig verteilt, wäre alle 2 Stunden eine Abfahrtsmöglichkeit.
      Bei 4 Zügen jede Stunde
      Bei 8 Zügen jede halbe Stunde (wie gefordert).
      Wir benötigen deshalb im Prinzip mindestens 8 Zugsgarnituren

      ... und vermutlich 7 Ausweichstellen auf je halbem Streckenabschnitt sowie eine in einem Kopfbahnhof,
      wobei der andere dann eine Remise für 8 Garnituren haben müsste. Eisenbahnfreunde vor!
      Das Rätsel ist dazu nicht genau genug spezifiziert, ich werde das mal simulieren ...
      Gruss
    • Neu

      p. specht schrieb:

      Auf einer 120 km langen eingleisigen Bahnstrecke, auf der die Züge mit durchschnittlich 60 km/h fahren, soll eine halbstündige Abfahrtsmöglichkeit sichergestellt werden.
      Ich versuch's mal, ohne in den Spoiler zu schauen:

      Für 120 km benötigt ein Zug bei 60 km/h 2h.
      Bei halbstündlicher Abfahrt sind in eine Richtung also erst mal 5 Züge auf dem Gleis:
      Z1 kommt am Ziel an (km 120)
      Z2 befindet sich bei km 90
      Z3 befindet sich bei km 60
      Z4 befindet sich bei km 30
      Z5 fährt gerade ab (km 0)

      Nun ist es aber so, dass Z1 NICHT SOFORT bei Ankunft wieder abfahren kann, (die Fahrgäste müssen ja erst aus- und einsteigen!) also muss Standzeit mit eingerechnet werden! Ich rechne mal mit 6 min Standzeit. (Geändert! Geht nicht auf mit 6 min...! Er muss das Einlaufen von Z2 30 min später abwarten, sonst gibt es Chaos!)

      Da Z1 erst 2:30h (150 min) später wieder am Abfahrtort bei km 0 ist (s.o.), können bis zu seiner Ankunft noch 4 weitere Züge abfahren, Z 6, 7, 8 und 9 nach 30, 60, 90 und 120 min.

      Nun muss Z1 ja aber auch an diesem Bahnhof 30 min warten. Also muss derweil Z10 nach 150 min fahren, um die 30-minütige Abfahrt sicher zu stellen.

      Der Fahrplan für Z1 sieht also so aus:
      Abfahrt bei min0
      Ankunft bei min120
      Abfahrt rück bei min150
      Ankunft rück bei min270
      erneute Abfahrt bei min300


      Zu den Ausweichstellen:
      Fährt Z1 in Gegenrichtung (Rückfahrt) ab, und Z2 kommt an. Z3 hat derweil km 90 erreicht.
      Z1 und Z3 begegnen sich also 15 min/km später, bei km 105.

      Z4 ist derweil bei km 75.
      15 min später begegnen sich Z1 und Z4 bei km 90.
      u.s.w.

      Ausweichstellen werden also benötigt bei km 15, 30, 45, 60, 75, 90 und 105.
      In Summe: 7

      Z1 erreicht nach 4.30h wieder km 0, während Z9 abfährt. 30 min später beginnt Z1 als Z5 (s.o.) von vorn.

      Frage: Wieviele Zugsgarnituren benötigt man da, wieviele Ausweichstellen sind erforderlich und bei welchen Bahnkilometern müssen sie errichtet werden?

      Antwort: Benötigt werden 10 Zuggarnituren, 7 Ausweichstellen bei (s.o.), und jeder Bahnhof muss parallel 2 Züge aufnehmen können: den Einfahrenden und den 30 min Wartenden.


      :-D

      Rabe
      Computer setzen logisches Denken fort!
      Unlogisches auch....

      Dieser Beitrag wurde bereits 8 mal editiert, zuletzt von ravenheart ()