ALGORITHMEN - Teil XXIV: Eins zu Null für Binärcode!

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    • Zu ALR-11

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      0,75a = b

      1,5c = b
      0,75a = 1,5c | :1,5
      0,5a = c

      a + b + c =360 (grad)
      1a + 0,75a + 0,5a = 360

      2,25a = 360 | :2,25

      a = 160

      160 * 0,75 = 120 = b
      160 * 0,5 = 80 = c

      Antwort: Beta ist 120° groß.



      Rabe

      PS: ALR-12: "dieser" ist missverständlich! Dieser fünf oder dieser drei?
      Computer setzen logisches Denken fort!
      Unlogisches auch....

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    • Zu ALR-12:

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      Logischer Ansatz:
      Das Zahlenfeld muss im kleinzahligen Bereich liegen, weil höher die relative Steigerung um 1 zu gering ist, um die Summen von 5 Zahlen gleich der von 3 Zahlen zu ergeben.

      Test:

      Wie wirkt es sich aus, wenn man den Ansatz (Startzahl) um 1 verschiebt?

      Start bei 0
      0+1+2+3+4=10
      5+6+7=18 - Differenz 8

      Start bei 1
      1+2+3+4+5=15
      6+7+8=21 - Differenz 6

      Zwischenergebnis:
      Differenz nimmt um 2 ab

      Logisch erwartet:
      Die Reihe ist linear!

      Logische Lösung:
      Start bei 2 - Diff 4
      Start bei 3 - Diff 2
      Start bei 4 - Diff 0. Das muss passen!

      Probe:
      4+5+6+7+8=30
      9+10+11=30
      Ergebnis: Korrekt.

      Antwort:
      Die Größte der 5 ist 8
      Die Größte der 3 ist 11


      Rabe
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    • ALR-12 korrekt gelöst, Herr Rabe!
      Die offizielle Lösung dazu sieht etwas mathematischer aus:
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      Die Ganzzahlen folgen ja alle aufeinander. Da die letzte (größte) Ganzzahl gefragt ist,
      werden die Zahlen relativ zu dieser gesetzt. Also statt 1 2 3 4 5 _ 6 7 8 nun
      7 6 5 4 3 _ 2 1 0.

      Die Aufgabe lautet dann, die größte Zahl, x zu ermitteln, wobei
      x-7 + x-6 + x-5 + x-4 + x-3 = x-2 + x-1 + x-0
      ==> 5*x - 25 = 3*x - 3 , woraus folgt:
      5*x-3*x = 25 - 3
      2*x = 22
      x = 11
      Antwort: Die gesuchte Zahl ist 11.


      P.S.: Hinweis zu ALR-11: Winkelsumme im Dreieck = ?
    • Offizielle Lösung zu ALR-11
      ----------------------------------
      Spoiler anzeigen

      beta = alpha - 25/100*alpha = 4/4 alpha - 1/4 alpha = 3/4 alpha
      ==> alpha = 4/3*beta
      beta = gamma + 50/100 gamma = 2/2 gamma + 1/2 gamma = 3/2 gamma
      ==> gamma = 2/3*beta

      Winkelsumme in Dreieck= alpha + beta + gamma = 180°
      Obige Ergebnisse eingesetzt:
      4/3*beta + 3/3 beta + 2/3*beta = 9/3*beta = 3*beta = 180°

      beta = 180°/3 = 60°

      P.S.: alpha=80°, gamma = 40°
    • Verdammt, ja, 180, nicht 360... :0engel:

      :lol: :lol: :lol:

      Na wenigstens kommt bei mir auch das Richtige raus, wenn man 180 einsetzt.. :pfeifend:

      0,75a = b, 1,5c = b
      0,75a = 1,5c | :1,5, 0,5a = c

      a + b + c =180 (grad), 1a + 0,75a + 0,5a = 180
      2,25a = 180 | :2,25, a = 80

      160 * 0,75 = 60 = b, 160 * 0,5 = 40 = c
      Antwort: Beta ist 60° groß.


      Rabe
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      Unlogisches auch....

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    • p. specht schrieb:

      Abt. ALR-13
      ===========
      Die Gleichung
      2^(m+1) + 2^m = 3^(n+2) - 3^n
      hat, wenn n und m beide Ganzzahlen sein sollen, nur eine Lösung.
      Gesucht ist der Wert von m.

      Spoiler anzeigen

      Logisch:
      a) n und m müssen klein sein und dicht aufeinander folgen.
      b) m ist größer

      Test:
      m =3
      n = 1

      Test:
      2^4= 16 + (2^3=) 8 = 24
      3^3= 27 - (3^1=) 3= 24

      Passt.
      m=3



      Rabe
      Computer setzen logisches Denken fort!
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    • Kandidat Rabe hat ALR-13 korrekt gelöst und damit 100 Punkte!
      Leider sieht man die schwarzen Punkte am rabenschwarzen Gefieder nicht sehr gut! ;-)

      Hier noch eine offizielle Lösung zu ALR-13:
      Spoiler anzeigen

      2^(m+1) + 2^m = 3^(n+2) - 3^n
      2* 2^m + 1* 2^m = 3*3* 3^n - 1* 3^n
      (2+1) * 2^m = (9-1) * 3^n
      3 * 2^m = 8 * 3^n
      3 * 2^m = 8 * 3 * 3^(n-1)
      2^m = 8 * 3^(n-1)

      Statt nun aufwendig über den "Chinesischen Restsatz" zu gehen,
      sei hier als Algorithmus der "Mengenvergleich" angegeben:
      m,n € {N}:
      {1,2,4, 8 ,16,32,64,128,256, ...} =?= {8/3, 8 ,24,72,216,648, ...}


      Lösung: m = 3 , n = 1, und wegen ggT(2,3)=1 gibt es keine weiteren Lösungen.

    • Abt. ALR-14 ´Clondike Joe´
      =================
      Clondike Joe war als Goldgräber nicht sehr erfolgreich, und soff sich schließlich aus Gram ins Grab. Immerhin hinterließ er seinen meist unehelichen Kindern eine Summe von etwas weniger als 1500 Dollar, die wie folgt aufgeteilt wurde: 4 Söhne und 1 Tocher sowie der Verlassenschafts-Anwalt (als Honorar) erhielten jeweils solche Beträge, sodass ...

      - die Quadratwurzel aus dem Anteil des ältesten Sohnes,
      - der Anteil des zweiten Sohnes geteilt durch zwei,
      - der Anteil des dritten Sohnes minus zwei Dollar,
      - der Anteil des vierten Sohnes plus zwei Dollar,
      - der Anteil der Tochter multipliziert mit zwei, und
      - das Quadrat des Anwaltshonorars

      jeweils genau den gleichen Betrag ergaben. Es wurden keine Cent verteilt, und nach der Aufteilung blieb kein Geld übrig.

      Die Frage: Welchen genauen Gesamtbetrag hinterließ Clondike Joe?

      (Hinweis: Wenn sich stets ganze Dollarbeträge ergeben sollen, muss auch der zu multiplizierende, halbierende etc. Wert ganzzahlig sein!)

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    • Abt. ALR-15 ´Reicher Rancher´
      =============================
      Ein Rancher kaufte auf einer Viehauktion Pferde, das Tier zu 344 $, sowie eine Herde Rinder zu 265 $ das Stück. Auf der Fahrt nach Hause berichtete er, daß die Pferde ihn insgesamt 33 $ mehr gekostet hätten als die Rinder. Wieviele Pferde und wieviele Rinder hat er mindestens gekauft?
    • Zu ALR 14:

      Spoiler anzeigen

      Logischer Grundansatz:
      Bei (ca.) 1500 als Gesamtsumme und 6 Empfängern bekäme jede(r) durchschnittlich 250 Tacken.

      Die beiden Bedingungen:
      Die Quadratwurzel aus dem Anteil des ältesten Sohnes = das Quadrat des Anwaltshonorars
      zeigen allerdings, dass der Anwalt deutlich weniger bekommt.

      (Beispiel: Wurzel aus 256 = 16! Demnach bekäme der älteste Sohn 256, der Anwalt aber nur 4 Dollar...)

      Aber formulieren wir es mal mathematisch:
      - die Quadratwurzel aus dem Anteil des ältesten Sohnes a: Wurzel a (Va)
      - der Anteil des zweiten Sohnes b geteilt durch zwei: b/2
      - der Anteil des dritten Sohnes c minus zwei Dollar: c-2
      - der Anteil des vierten Sohnes d plus zwei Dollar: d +2
      - der Anteil der Tochter e multipliziert mit zwei: 2e und
      - das Quadrat des Anwaltshonorars: f²
      also
      Va = b/2 = c-2 = d+2 = 2e = f²

      Hieraus ist ein deutliches Gefälle zu erkennen...
      von a zu f exponentiell, b zu e multiplikativ, c zu d additiv.

      a zu f mit 256 zu 4 haut also nicht hin, a muss deutlich mehr bekommen!
      Da a und f aber im Verhältnis stehen:
      f² = x = Va
      kann f auch nicht VIEL höher sein, sonst überstiege a schnell die Gesamtsumme 1.500!

      Geschätzt:
      f = 6, x = 36, a = 1.296

      Das würde bedeuten:
      a = 1.296
      b = 72
      c = 38
      d = 34
      e = 18
      f = 6
      Summe: 1.464 sieht gut aus!

      Gegentest: f = 7? … hieße: x = 49, dann wäre a schon 2.401. Passt nicht!

      Ergebnis= Joe hinterlies 1.464 Dollar!


      Rabe
      Computer setzen logisches Denken fort!
      Unlogisches auch....
    • ALR-14 einfach grossartig gelöst, Herr Rätselrabe! Bravo!
      Meinereiner hat dazu einen langen, verschnörkleten Lösungsweg plus ein kleines Testprogramm gebraucht - Details anbei!
      Ich ziehe meinen Federhut!
      Gruss

      Lösungsansatz von Specht zu ALR-14
      Spoiler anzeigen

      Durchschnitt: 1500 / 6 = 250
      Ansatz:
      1) Sqrt(S1) = x ==> S1 = x^2
      2) S2/2 = x ==> S2 = 2*x
      3) S3-2 = x ==> S3 = x+2
      4) S4+2 = x ==> S4 = x-2
      5) T*2 = x ==> T = x/2
      6) A^2 = x ==> A = Sqrt(x)
      7) (S1+S2+S3+S4+T+A) <~ 1500 €

      1)-6) eingesetzt in 7) ergibt:

      x^2 + 2*x + x+2 + x-2 + x/2 + Sqrt(x) <~ 1500
      x^2 + (2+1+1+1/2)*x +2-2+Sqrt(x) <~ 1500
      x^2 + 4.5*x + 0 + Sqrt(x) <~ 1500

      8) x^2 + 4.5*x + Sqrt(x)-1500 = 0

      Auf diese "Quadratisch-ähnliche" Beziehung wenden wir
      die bekannte Mitternachtsformel an, um die Größenordnung
      ungefähr zu bestimmen:
      x_1,2 ~~ -p/2 +/- Sqrt((p/2)^2 - q )
      oder konkret:
      x_1,2 ~~ -2.25 +/- Sqrt( 2.25^2 - (-1500) - Sqrt(x_1,2) )

      Da es sich offenbar nicht um einen negativen Betrag handelt,
      betrachten wir nachfolgend nurmehr die positive Wurzel:

      x <= -2.25 + Sqrt( 5.0625 + 1500 - Sqrt(x_1) )
      x <= -2.25 + Sqrt( 1505.0625 - Sqrt(x_1) )
      x ~~ -2.25 + ~~( 38,795135... - Sqrt(Sqrt(x_1)) )

      Vermutungen: x ~~ 35 ? ...

      Methode 1: Ausprobieren ... führt zu x=36.

      Methode 2: Newton-Raphson-Algorithmus mit Startwert 35

      X_neu = x_alt - F(x) / f´(x) ,

      mit
      F(x) = x^2 + 4.5*x + x^(1/2) - 1500
      und
      f´(x)= 2*x + 4.5 + 1/2*x^(-1/2)- 0
      ==> = 2*x + 4.5 + 1/(2*x*x)
      ==> = 2*x + 0.5/x^2 + 4.5

      gibt eingesetzt

      x_neu = x-(x^2+4.5*x+x^(1/2)-1500)/(2*x+0.5/x^2+4.5)

      Man könnte nun händisch in einigen Schritten auf x=36 kommen,
      ich überlasse das aber getrost dem Computer, der dann auch
      gleich die Einzelbeträge ausgibt.
      Gruss


      Quellcode

      1. WindowTitle "ALR-14 Clondike Joe-Solver"
      2. WindowStyle 24:CLS:font 2:set("decimals",17)
      3. declare x!,xn!,e!:e!=1/10^17:xn!=35
      4. Repeat
      5. x!=xn!
      6. xn!=x!-(x!^2+4.5*x!+x!^(1/2)-1500)/(2*x!+0.5/x!^2+4.5)
      7. until abs(xn!-x!)<e!
      8. print "\n Der Gleichwert für 1500 Dollar wäre ";x!
      9. x!=int(x!)
      10. print "\n Der ganzzahlige Gleichwert ist ";x!
      11. print "\n 1. Sohn: ";x!^2
      12. print "\n 2. Sohn: ";2*x!
      13. print "\n 3. Sohn: ";x!+2
      14. print "\n 4. Sohn: ";x!-2
      15. print "\n Tochter: ";x!/2
      16. print "\n Anwalt: ";Sqrt(x!)
      17. print "\n Gesuchte Gesantsumme: ";\
      18. x!^2+2*x!+x!+2+x!-2+x!/2+Sqrt(x!)
      19. sound 2000,100:waitinput 60000:End
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    • ALR-16: Da gibt es zwei Lösungen!

      Spoiler anzeigen

      Aufgabe:
      Todesalter * 29 = Geburtsjahr
      1900 - Geburtsjahr = gesucht


      zuerst gesucht: Todesalter x
      Geburtsjahr / 29 = x (Todesalter)

      Logischer Ansatz: "Urgroßvater" und "1900" zeigen, dass sein Geburtsjahr zwischen 1800 und 1899 liegen muss

      Rahmengrenzen:
      1800/29 = 62,068965517241379310344827586207
      1899/29 = 65,482758620689655172413793103448
      Zwischenergebnis: Das Todesalter muss zwischen 62 und 66 liegen.

      62 * 29 = 1798
      1900 - 1798 = 102
      passt nicht, denn er kann 1900 nicht älter gewesen sein, als sein Todesalter.
      63 * 29 = 1827
      1900 - 1827 = 73
      auch dann wäre er 1900 bereits tot gewesen, passt auch nicht.


      64 * 29 = 1856
      1900 - 1856 = 44. Das geht.
      65 * 29 = 1885
      dann wäre er 1900 15 gewesen. Auch möglich.

      66 * 29 = 1914. Passt wieder nicht mehr, denn gemäß Aufgabe kann er nicht nach 1900 geboren sein.

      Lösung 1:
      1856 geboren,
      1856 / 29 = 64,
      1920 mit 64 gestorben. 1900 war er 44.

      Lösung 2:
      1885 geboren,
      1885 / 29 = 65
      1950 mit 65 gestorben. 1900 war er 15.



      Rabe
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    • Lösung zu ALR-15 ´Reicher Rancher´
      --------------------------------------
      Spoiler anzeigen
      Probieren scheidet für mich aus. Ein "Brute-force"-Computerprogramm rechnete etwa 30 Sekunden bis zur niedrigstmöglichen Lösung. Mathematisch interessanter ist: Das ist ein klarer Fall für den EEA (Erweiterter Euklidischer Algorithmus).

      1. Lösbarkeitsbeurteilung: Der ggT(344,265)=1 >>> Bei teilerfremden Zahlen gibt es stets eine Lösung.

      2. Ermittlung einer Basislösung zur Linearen Diophantischen Gleichung ...

      344 * x [Pferde] - 265 * y [Rinder] = 33 [$]

      Euklid-Schema:
      ----------------------------------------------------
      344 - 265 * 1 = 79
      265 - 79 * 3 = 28
      79 - 28 * 2 = 23
      28 - 23 * 1 = 5
      23 - 5 * 4 = 3
      5 - 3 * 1 = 2
      3 - 2 * 1 = 1 = ggT
      2 - 1 * 2 = 0 ---^
      ------------------------------------------------------
      EEA-Schema (ggT-Gleichungen: a*x0+b*y0 = ggT)
      ------------------------ x ----------- y --------------
      2 - 1 * 2 = 0 ________ 0 ____ 1
      3 - 2 * 1 = 1 ________ 1 ____ 0 - 1 * 1 = -1
      5 - 3 * 1 = 2 _______ -1 ____ 1 - 1 *(-1) = 2
      23 - 5 * 4 = 3 _______ 2 ___ -1 - 4 * 2 = -9
      28 - 23 * 1 = 5 _____ -9 ____ 2 - 1*(-9) = 11
      79 - 28 * 2 = 23 ____ 11 ___ -9 - 2 * 11 = -31
      265 - 79 * 3 = 28 __ -31 ___ 11 - 3 * (-31) = 104
      344 - 265 * 1 = 79 _ 104 __ -31 - 1 * 104 = -135
      ==================================
      Basisgleichung daher
      344 * 104 + 265 * (-135) = 1 (=ggT)
      ----------------------------------------------------
      Lösung der konkret gegebenen Gleichung:
      Wir brauchen rechts 33 statt 1, daher Multiplikation beider Seiten mit 33:
      344 * 104*33 - 265 * 135*33 = 33
      344 * 3432 - 265 * 4455 = 33
      ----------------------------------------------------
      Kürzen auf kleinstmögliche positive Lösung:
      int(3432 / 265) = 12
      int(4455 / 344) = 12
      Min(12,12)=12
      Kürzung um Faktor 12:
      344 * (3432-12*265) - 265 * (4455-12*344) = 33

      Finale Lösung (Wahrscheinnlichster Ankauf des Ranchers:)
      344 * 252 - 265 * 327 = 33

      Antwort: Der Rancher hat zumindest 252 Pferde und 327 Rinder gekauft!
    • Abt. ALR-17
      ========
      Lausbub Karli handelt an seiner Schule mit weißen Mäusen. Erst neulich kaufte er im Zoo-Geschäft wieder eine ganze Menge davon (Immerhin bewahrt das die Mäuse davor, als Schlangenfutter zu enden). Er verbrauchte dazu sein gesamtes Taschengeld von 60 Euro, behielt 15 Mäuse für sich und verkaufte den Rest an Mitschüler. Dabei hatte er Einnahmen von 54 Euro und erwirtschaftete pro Maus immerhin einen Gewinn von 10 Eurocent. Frage: Wieviele Mäuse hat er im Zoo-Geschäft eingekauft?
    • @H.Brill: Das war flott! Bravo!

      Für die Nicht-Profaner unter den Rätselfreunden hier die offizielle Lösungsvariante von ALR-18:
      Spoiler anzeigen

      1001 mod Ziffer = 5 bedeutet, dass Ziffer > 5 und Ziffer <= 9 sein muss (Ein Modul liefert immer nur Ergebnisse zwischen 0 und Modul-1 )

      Auf nächstkleinere "Rest=0-Zahl" bringen: 1001-5 = 996 und Teilbarkeit prüfen:
      996 ist restlos teilbar durch 6, nicht teilbar durch 7, 8 oder 9.
      Das bedeutet: Der zu verwendende Restklassenmodul ist 6.

      Die Antwort auf die Frage, was der Rest 2020 mod 6 ist, klärt sich nun:
      2020 / 6 = 336.6666666666...periodisch = 336_2/3 .
      Der gebrochene Anteil (2/3) rückmultipliziert mit Modul 6 liefert den gesuchten Rest:
      2/3 * 6 = 2*2 = 4

      Die Lösung lautet daher: 4