Lösung zu FGS-44
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- Klar, dass in einer Abfolge von 50 Zahlen jede dritte Zahl restlos durch drei teilbar ist: 50/3 = 16_2/3
In der konkreten Abfolge von 1 bis 50 sind das aber genau 16 Zahlen, d.h.; 16/50*100 = 32 %
- Klar ist auch, dass in einer Abfolge von 50 Zahlen jede vierte Zahl restlos durch vier teilbar ist: 50/4 = 12.5 %
In der konkreten Abfolge von 1 bis 50, auf die sich die Frage bezieht, sind das genau 12 Zahlen, d.h.; 12/50*100 = 24 %.
Addierte man die beiden Prozentwerte einfach, dann macht man aber einen Fehler: Die Schnittmenge jener Zahlen, die sowohl durch drei als auch durch vier restlos teilbar sind, steckt ja in beiden Prozentwerten mit drin - also 1 x zuviel! Wir müsssen sie also einmal abziehen.
- Wieviele Zahlen zwischen 1 und 50 sind sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar? Da 3 eine Primzahl ist, sind drei und vier mit Sicherheit relativ zueinander ´prim´:Der ggT(3,4)=1. Daher ist jede 3 * 4 = 12te Zahl sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar. 50/12=4.16666666... Konkret erfüllen also 4 Zahlen diese Bedingung: 4/50 * 100 = 8 %
ERGEBNIS: 32 % + 24 % - 8 % = 48%
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl zwischen 1 und 50 durch drei oder vier teilbar ist, beträgt 48 %.
Probe:
_1 _2 _3! _4! _5 _6! _7 _8! _9! 10 11 12!
13 14 15! 16! 17 18! 19 20! 21! 22 23 24!
25 26 27! 28! 29 30! 31 32! 33! 34 35 36!
37 38 39! 49! 41 42! 43 44! 45! 46 47 48!
49 50
6*4 = 24 Zahlen von 50 = 48 von 100 = 48%, q.e.d.