Lösung zu FGS-26 ´Potenzensumme´
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Gegeben: a + b = 5 und a*b = 3.
Gesucht: a^4 + b^4 = ?
Hier der Standard-Lösungsweg:
a*b=3 ==> b=3/a in
a+b=5
gibt
a+3/a = 5
a^2+3 = 5*a
a^2-5*a+3 = 0
a_12 = 2.5+\-Sqrt((-5/2)^2 - 3)
a_12 = 2.5+\-Sqrt(2.5*2.5 - 3)
a_12 = 2.5+\-Sqrt(6.25 - 3)
a_12 = 2.5+\-Sqrt(3.25)
a_12 = 2.5+\-Sqrt(3.25)
a_12 = 2.5+\-1.802775638)
a_12 = 4.302775638\0.697224362
b_12 = 3/a_12 = 0.697224362\4.302775638
a^4+b^4 = 343.0000000000001
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Zur Probe nun auch anders:
Den gesuchten Ausdruck kann man zerlegen in
a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2*a^2*b^2 = (a^2+b^2)^2 - 2*(a*b)^2 .
Da bekanntlich gilt
(a + b)^2 = a^2 +2*a*b + b^2 = (a^2 + b^2) + 2*a*b ,
wovon wir aus der Angabe wissen: (a + b)^2 = 5^2 = 25,
kann man in die vorstehende Zerlegung weiters auc das bekannte a*b einsetzen:
(a^2 + b^2) + 2*3 = 25 ==> (a^2 + b^2) = 25 - 6 = 19
Daher kennen wir nun auch das gesuchte
a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2*(a*b)^2 = 19^2 -2* 3^2 =
= 361 - 18 = 343, q.e.d.