Volkmar hat kurzen Prozess gemacht - Bravo! Ich merke schon, die Fragen sind euch zu leicht. Dann eben etwas Spannenderes:
Abt. BAR-73
========
Es gelte (1³+2³+3³+...+n³) / (1+2+3+...+n) = 1225 .
Frage: n ist eine positive ganze Zahl. Welche?
Volkmar hat kurzen Prozess gemacht - Bravo! Ich merke schon, die Fragen sind euch zu leicht. Dann eben etwas Spannenderes:
Abt. BAR-73
========
Es gelte (1³+2³+3³+...+n³) / (1+2+3+...+n) = 1225 .
Frage: n ist eine positive ganze Zahl. Welche?
Ja, eine coole Abkürzung.
zu Bar-73:
49
Korrekt. Aber nun auch den Lösungsweg bitte, Programm oder per Formeln ...
Inzwischen hier das nächste Rätsel:
Abt. BAR-74
===========
Texas-Anni betreibt eine Schlangenfarm. 30 % der Schlangen sind gestreift, 70 % einfärbig. Die Durchschnittslänge aller Tiere beträgt 110 cm, die der einfärbigen 130 cm. Welche durchschnittliche Länge haben die gestreiften Schlangen?
Zu BAR-74:
Nehmen wir an es geht um 100 Schlangen.
Die Gesamtlänge aller Schlangen beträgt dann ca. 100 * 1,1m = 110m
70 Schlangen haben eine Farbe und eine Länge von 70 * 1,3m = 91m
Die restlichen 30 Schlangen haben eine Länge von 19m. 110m - 91m
-> 19m / 30 = 0,63m
Das kann man auch im Kopf berechnen - 19/3= 6 +1/3
Tschau
Völlig richtig, @Oldi-40!
Hier noch ein formelmäßiger Lösungsweg zu Bar-73:
n^2+n = 2450,(1³+2³+3³+...+n³) / (1+2+3+...+n) = 1225
Das Geheimnis: SUMME(i=1³..n³) = (SUMME(i=1..n))^2
und S = SUMME(i=1..n) = n*(n+1)/2 ... (= Kleiner Gauß)
Daher:
(1³+2³+3³+...+n³) / (1+2+3+...+n) = 1225 entspricht
S^2 / S = S^1 = S mit
S = n*(n+1)/2 )´= 1225, bzw.
n^2+n = 2450, oder in Normalform der quadratischen Gleichung:
n^2+n - 2450 = 0
===> n = -1/2 +/- SQRT( (1/2)^2 - (-2450) )
Der negative Wurzelzweig ist nicht gefragt, fällt daher weg:
n = SQRT(2450.25)-0.5 = 49
q.e.d.
Abt. BAR-75
===========
x, y, z seien positive Ganzzahlen, und es gelte w = x²+y²+z²
Wieviele verschiedene Lösungen w fallen in den Wertebereich [0 bis inkl.20] von w ?
Bar-75
Stolze 78 Lösungen. Das hätte ich ohne Brute Force nicht herausbekommen.
Lösungen:
1 ---- 0 = 0^2 + 0^2 + 0^2
2 ---- 1 = 0^2 + 0^2 + 1^2
3 ---- 4 = 0^2 + 0^2 + 2^2
4 ---- 9 = 0^2 + 0^2 + 3^2
5 ---- 16 = 0^2 + 0^2 + 4^2
6 ---- 1 = 0^2 + 1^2 + 0^2
7 ---- 2 = 0^2 + 1^2 + 1^2
8 ---- 5 = 0^2 + 1^2 + 2^2
9 ---- 10 = 0^2 + 1^2 + 3^2
10 ---- 17 = 0^2 + 1^2 + 4^2
11 ---- 4 = 0^2 + 2^2 + 0^2
12 ---- 5 = 0^2 + 2^2 + 1^2
13 ---- 8 = 0^2 + 2^2 + 2^2
14 ---- 13 = 0^2 + 2^2 + 3^2
15 ---- 20 = 0^2 + 2^2 + 4^2
16 ---- 9 = 0^2 + 3^2 + 0^2
17 ---- 10 = 0^2 + 3^2 + 1^2
18 ---- 13 = 0^2 + 3^2 + 2^2
19 ---- 18 = 0^2 + 3^2 + 3^2
20 ---- 16 = 0^2 + 4^2 + 0^2
21 ---- 17 = 0^2 + 4^2 + 1^2
22 ---- 20 = 0^2 + 4^2 + 2^2
23 ---- 1 = 1^2 + 0^2 + 0^2
24 ---- 2 = 1^2 + 0^2 + 1^2
25 ---- 5 = 1^2 + 0^2 + 2^2
26 ---- 10 = 1^2 + 0^2 + 3^2
27 ---- 17 = 1^2 + 0^2 + 4^2
28 ---- 2 = 1^2 + 1^2 + 0^2
29 ---- 3 = 1^2 + 1^2 + 1^2
30 ---- 6 = 1^2 + 1^2 + 2^2
31 ---- 11 = 1^2 + 1^2 + 3^2
32 ---- 18 = 1^2 + 1^2 + 4^2
33 ---- 5 = 1^2 + 2^2 + 0^2
34 ---- 6 = 1^2 + 2^2 + 1^2
35 ---- 9 = 1^2 + 2^2 + 2^2
36 ---- 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2
37 ---- 10 = 1^2 + 3^2 + 0^2
38 ---- 11 = 1^2 + 3^2 + 1^2
39 ---- 14 = 1^2 + 3^2 + 2^2
40 ---- 19 = 1^2 + 3^2 + 3^2
41 ---- 17 = 1^2 + 4^2 + 0^2
42 ---- 18 = 1^2 + 4^2 + 1^2
43 ---- 4 = 2^2 + 0^2 + 0^2
44 ---- 5 = 2^2 + 0^2 + 1^2
45 ---- 8 = 2^2 + 0^2 + 2^2
46 ---- 13 = 2^2 + 0^2 + 3^2
47 ---- 20 = 2^2 + 0^2 + 4^2
48 ---- 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2
49 ---- 6 = 2^2 + 1^2 + 1^2
50 ---- 9 = 2^2 + 1^2 + 2^2
51 ---- 14 = 2^2 + 1^2 + 3^2
52 ---- 8 = 2^2 + 2^2 + 0^2
53 ---- 9 = 2^2 + 2^2 + 1^2
54 ---- 12 = 2^2 + 2^2 + 2^2
55 ---- 17 = 2^2 + 2^2 + 3^2
56 ---- 13 = 2^2 + 3^2 + 0^2
57 ---- 14 = 2^2 + 3^2 + 1^2
58 ---- 17 = 2^2 + 3^2 + 2^2
59 ---- 20 = 2^2 + 4^2 + 0^2
60 ---- 9 = 3^2 + 0^2 + 0^2
61 ---- 10 = 3^2 + 0^2 + 1^2
62 ---- 13 = 3^2 + 0^2 + 2^2
63 ---- 18 = 3^2 + 0^2 + 3^2
64 ---- 10 = 3^2 + 1^2 + 0^2
65 ---- 11 = 3^2 + 1^2 + 1^2
66 ---- 14 = 3^2 + 1^2 + 2^2
67 ---- 19 = 3^2 + 1^2 + 3^2
68 ---- 13 = 3^2 + 2^2 + 0^2
69 ---- 14 = 3^2 + 2^2 + 1^2
70 ---- 17 = 3^2 + 2^2 + 2^2
71 ---- 18 = 3^2 + 3^2 + 0^2
72 ---- 19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
73 ---- 16 = 4^2 + 0^2 + 0^2
74 ---- 17 = 4^2 + 0^2 + 1^2
75 ---- 20 = 4^2 + 0^2 + 2^2
76 ---- 17 = 4^2 + 1^2 + 0^2
77 ---- 18 = 4^2 + 1^2 + 1^2
78 ---- 20 = 4^2 + 2^2 + 0^2
Statistik:
Zahl x kommt n-mal vor:
x= 0 -- n= 1
x= 1 -- n= 3
x= 2 -- n= 3
x= 3 -- n= 1
x= 4 -- n= 3
x= 5 -- n= 6
x= 6 -- n= 3
x= 7 -- n= 0
x= 8 -- n= 3
x= 9 -- n= 6
x= 10 -- n= 6
x= 11 -- n= 3
x= 12 -- n= 1
x= 13 -- n= 6
x= 14 -- n= 6
x= 15 -- n= 0
x= 16 -- n= 3
x= 17 -- n= 9
x= 18 -- n= 6
x= 19 -- n= 3
x= 20 -- n= 6
01 ---- 00 = 0, 0, 0
02 ---- 01 = 0, 0, 1 # 06 ---- 01 = 0, 1, 0 # 23 ---- 01 = 1, 0, 0
07 ---- 02 = 0, 1, 1 # 24 ---- 02 = 1, 0, 1 # 28 ---- 02 = 1, 1, 0
29 ---- 03 = 1, 1, 1
03 ---- 04 = 0, 0, 2 # 11 ---- 04 = 0, 2, 0 # 43 ---- 04 = 2, 0, 0
08 ---- 05 = 0, 1, 2 # 12 ---- 05 = 0, 2, 1 # 25 ---- 05 = 1, 0, 2 # 33 ---- 05 = 1, 2, 0 # 44 ---- 05 = 2, 0, 1 # 48 ---- 05 = 2, 1, 0
30 ---- 06 = 1, 1, 2 # 34 ---- 06 = 1, 2, 1 # 49 ---- 06 = 2, 1, 1
13 ---- 08 = 0, 2, 2 # 45 ---- 08 = 2, 0, 2 # 52 ---- 08 = 2, 2, 0
a 04 ---- 09 = 0, 0, 3 # 16 ---- 09 = 0, 3, 0 # 60 ---- 09 = 3, 0, 0
b 35 ---- 09 = 1, 2, 2 # 50 ---- 09 = 2, 1, 2 # 53 ---- 09 = 2, 2, 1
09 ---- 10 = 0, 1, 3 # 17 ---- 10 = 0, 3, 1 # 26 ---- 10 = 1, 0, 3 # 37 ---- 10 = 1, 3, 0 # 61 ---- 10 = 3, 0, 1 # 64 ---- 10 = 3, 1, 0
31 ---- 11 = 1, 1, 3 # 38 ---- 11 = 1, 3, 1 # 65 ---- 11 = 3, 1, 1
54 ---- 12 = 2, 2, 2
14 ---- 13 = 0, 2, 3 # 18 ---- 13 = 0, 3, 2 # 46 ---- 13 = 2, 0, 3 # 56 ---- 13 = 2, 3, 0 # 62 ---- 13 = 3, 0, 2 # 68 ---- 13 = 3, 2, 0
36 ---- 14 = 1, 2, 3 # 39 ---- 14 = 1, 3, 2 # 51 ---- 14 = 2, 1, 3 # 57 ---- 14 = 2, 3, 1 # 66 ---- 14 = 3, 1, 2 # 69 ---- 14 = 3, 2, 1
05 ---- 16 = 0, 0, 4 # 20 ---- 16 = 0, 4, 0 # 73 ---- 16 = 4, 0, 0
a 10 ---- 17 = 0, 1, 4 # 21 ---- 17 = 0, 4, 1 # 27 ---- 17 = 1, 0, 4 # 74 ---- 17 = 4, 0, 1 # 76 ---- 17 = 4, 1, 0
b 55 ---- 17 = 2, 2, 3 # 58 ---- 17 = 2, 3, 2 # 70 ---- 17 = 3, 2, 2
a 19 ---- 18 = 0, 3, 3 # 63 ---- 18 = 3, 0, 3 # 71 ---- 18 = 3, 3, 0
b 32 ---- 18 = 1, 1, 4 # 42 ---- 18 = 1, 4, 1 # 77 ---- 18 = 4, 1, 1
40 ---- 19 = 1, 3, 3 # 67 ---- 19 = 3, 1, 3 # 72 ---- 19 = 3, 3, 1
15 ---- 20 = 0, 2, 4 # 22 ---- 20 = 0, 4, 2 # 47 ---- 20 = 2, 0, 4 # 59 ---- 20 = 2, 4, 0 # 75 ---- 20 = 4, 0, 2 # 78 ---- 20 = 4, 2, 0
Die Ergebnisse 7 + 15 kommen nicht vor.
Die Ergebnisse 9 + 17 + 18 kommen durch 2 verschiedene Kombinationen zustande.
Es gibt 19 verschiedene Ergebnisse.
Programm:
/*
x, y, z seien positive Ganzzahlen, und es gelte w = x²+y²+z²
Wieviele verschiedene Lösungen w fallen in den Wertebereich [0 bis inkl.20] von w ?
*/
cls
clearclip
declare int x,y,z,w,i, string s
declare int a[20]
for x,0,6
for y,0,6
for z,0,6
print "----- " + str$(x) + ", " + str$(y) + ", " + str$(z)
w = (x^2) + (y^2) + (z^2)
if between(w,0,20)
inc i
a[w] = a[w] + 1
s = str$(i) + " ---- " + str$(w) + " = " + str$(x) + "^2 + " + str$(y) + "^2 + " + str$(z) + "^2 \n"
putclip s
print s
endif
endfor
endfor
endfor
putclip "\nZahl x kommt n-mal vor:\n"
for i,0,20
s = "x= " + str$(i) + " -- n= " + str$(a[i]) + "\n"
putclip s
endfor
cls
print getclip$()
waitkey
end
Alles anzeigen
Die Antwort von @Michael Wodrich zu BAR-75 ist korrekt und verdient ein Sonderlob! TUSCH BITTE!
Abt. BAR-76
===========
´!´ ist das mathematische Zeichen für "Faktorielle". Z.B. ist 4! = 4*3*2 *1 = 24 (Das .*1 ändert natürlich nichts mehr, wird aus systematischen Gründen aber gerne geschrieben, weil damit n Faktoren erscheinen. Anmerkung: in XProfan kennzeichnet x! allerdings eine Doppeltpräzise, 8 Byte lange Standard-Fließkommavariable. Zum Rätsel:
(n !)² /( (n+1)! * (n-1)! ) = 7/8
n=? ... und wieso?
Bar-76
das wieso??? - offen
n=7
/*
(n !)² /( (n+1)! * (n-1)! ) = 7/8
*/
proc fac
parameters int n
declare float erg, int i
erg = 1
i = 2
while i <= n
erg = erg * i
inc i
endwhile
return erg
endproc
cls
clearclip
declare int n, float erg
n = 8
while n > 1
erg = fac(n)^2 / ( fac(n + 1) * fac(n - 1) )
print n, 7/8, erg
case erg = 7/8 : break
dec n
endwhile
waitkey
end
Alles anzeigen
Wenn der Startpunkt 8 nicht funktioniert hätte, dann hätte ich 7 * 8 genommen.
Das Ergebnis stimmt jedenfalls, dear @Michael Wodrich! Danke für das Programm.
Schaun wir mal, ob wir das nicht auch formelmäßig hinkriegen:
(n!)^2 / ( (n+1)! * (n-1)! ) =
n! * n! / ( (n+1)! * (n-1)! ) =
n*(n-1)*(n-2)*...*1 / ((n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*1 ) * \
* n*(n-1)*(n-2)*...*1 / ( (n-1)*(n-2)*...*1 ) =
; Zähler gegen Nenner kürzen (gleiche Terme streichen) liefert:
= 1 / (n+1) * n / 1 = n/(n+1) = 7/8
==> 8*n = 7*(n+1) ==> 8*n = 7*n + 7 ==> 8*n - 7*n = 7
==> 1*n = 7 ==> n = 7
q.e.d.
Abt. BAR-77 ´Zerlego´
==============
(x^2+2*x+1) / (x^2+6*x+9) = 36/49
x=?
Abt. BAR-78
========
Wieviele zweistellige Primzahlen lassen sich mittels der Ziffern ´1´,´3´,´5´ bilden (Wiederholung von Ziffern zulässig)?
Abt. BAR-77 ´Zerlego´
==============
hmmm…
erst mal schöner schreiben:
x² +2x +1 / x² +6x +9 = 36/49
Idee: setze x² +2x +1 = a
a / (a +4x +8) = 36/49 |*49
49a / (a +4x +8) = 36 |*(a +4x +8)
49a = 36a + 144 x + 288
13a = 144x +288 | a wieder einsetzen
13x² +26x +13 = 144x +288
13x² -118x -275 = 0 |: 13
x² -188x/13 -275/13 = 0
hoho... das kennen wir doch!!
x² +px +q = 0
In Lösungsformel (-p/2 +/- SQRT (p/2)² -q)
einsetzen:
-188/13 = p
-275/13 = q
Ergibt: x = 11
Rabe
Jawohl, 11 ist richtig, Herr Rätselrabe!
Die "schönere Schreibweise" ist mathematisch gesehen allerdings nicht korrekt, da nach der Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" nur ein kleiner Bruchstrich in der Mitte entstünde. Aber Hauptsache, das Ergebnis stimmt!
Warum das Rätsel "Zerlego" heißt, hat folgenden Grund:
(x² +2x +1) / (x² +6x +9) = 36/49
Bei "Zerlego" hilft uns der Vietasche Wurzelsatz:
(x² +2x +1) = (x+1)^2 und (x² +6x +9) = (x+3)^2, daher gilt:
(x² +2x +1) / (x² +6x +9) = (x+1)^2/(x+3)^2 = 36/49 ,
daraus die Wurzel gezogen: (x+1)/(x+3) = 6/7
7*(x+1)=6*(x+3)
7*x+7 = 6*x+18
7*x-6*x = 18 - 7
x = 11, q.e.d.
Bar-78
Wie viele zweistellige Primzahlen lassen sich mittels der Ziffern ´1´,´3´,´5´ bilden (Wiederholung von Ziffern zulässig)?
4, wenn auslassen auch erlaubt ist. (11, 13, 31, 53)
Primzahlen bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Richtig, @Michael Wodrich! Also weiter:
Abt. BAR-79
========
a, b und c sind Ziffern. Wieviele unterschiedliche (a, b, c)-Tripel erfüllen die Gleichung ...
(a^b)^c = 4 ?
Die "schönere Schreibweise" ist mathematisch gesehen allerdings nicht korrekt, da nach der Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" nur ein kleiner Bruchstrich in der Mitte entstünde. Aber Hauptsache, das Ergebnis stimmt!
...stimmt, aber nur, wenn man es aufgrund der Einschränkungen der Textverarbeitung in einer Zeile schreibt...
x² +2x +1
------------ = 36/49
x² +6x +9
wäre wieder mathematisch o.k. - und war natürlich gemeint...
Rabe
PS: (x² +2x +1) = (x+1)^2... is schon genial!
Das Genie heißt François Viète (1540-1603). Sein Satz von Vieta oder auch Vietascher Wurzelsatz (Wurzel wird hier mit Lösung durch Zerlegung gleichgesetzt) ist eine der Voraussetzungen zur vereinfachten Polynomdivision, etwa nach dem Horner-Schema.
Bezüglich Bruchstrich-Darstellung hat @ravenheart natürlich vollkommen recht. Es gab Versuche, lange Bruchstriche durch // zu kennzeichnen. Hat sich leider nicht durchgesetzt, würde aber die doofe Aussenklammerung in Einzeilern ersetzen.
Gruss
P.S.: BAR-79 dzt. offen!
Richtig, @Michael Wodrich! Also weiter:
Abt. BAR-79
========
a, b und c sind Ziffern. Wieviele unterschiedliche (a, b, c)-Tripel erfüllen die Gleichung ...
(a^b)^c = 4 ?
Hmmm…
logisch:
Da nach Ziffern - nicht Zahlen! gefragt ist, scheiden 0,5 etc. aus...
1. alles, was mit a=1 beginnt, fällt aus, denn egal was danach kommt, es bleibt 1
2. für a=4 gibt es nur eine Lösung, nämlich b und c = 1
3. für a=2 gibt es nur 2 Lösungen, nämlich b=1, c=2 oder umgekehrt
4. sind a, b oder c =0, kommt max. 1 raus
Also sind es 3 Tripel, die die Gleichung erfüllen...
a-b-c
2-1-2
2-2-1
4-1-1
Rabe
Sie haben noch kein Benutzerkonto auf unserer Seite? Registrieren Sie sich kostenlos und nehmen Sie an unserer Community teil!