ALGORITHMEN - Teil XXVI: Bitte anschnallen!

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      Abt. BAR-51 ´MATH´
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      Auf wievielen verschiedenen Wegen ist im nachfolgenden 7 x 7 - Gitter - beginnend beim "M" - das Wort "MATH" bildbar, wenn ein Schritt jeweils nur in die (geraden oder diagonalen) Nachbarfelder gehen darf?

      Quellcode

      1. H H H H H H H
      2. H T T T T T H
      3. H T A A A T H
      4. H T A M A T H
      5. H T A A A T H
      6. H T T T T T H
      7. H H H H H H H
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      Lösung zu BAR-51 ´MATH´
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      Spoiler anzeigen
      Wenn man das M mit "Ring 0" assoziiert, das A mit dem "1. Eck-Ring" (R=1) usw., dann ergibt sich die Anzahl der Pfade Z - (starke Vermutung) - aus der Formel:

      Z = ( 2 *R - 1 ) * 24 - 16

      Mit M A T H (1 Zentrum und 3 Ringe, daher R=3) ergeben sich 5*24-16 = 120-16 = 104 verschiedene Wege, das Wort MATH zu bilden. Auch die offizielle Lösung ist:

      104

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      Abt. Voll peinlich: Offizielle Lösung stimmt nicht!
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      Die obige Lösung zu BAR-51 ist hiermit zurückgezogen! Eine Erreichbarkeitsbetrachtung der äussersten Felder (- die mit "H") summiert sich nicht zu 104, sondern nur zu 88. Im Spoiler die Begründung.
      Spoiler anzeigen

      Es gibt vier qualitativ unterschiedliche Feldqualitäten im äußeren Eckring.

      Hier ein Ausschnitt des Feldes, links oben:
      Eckfeld
      | Ecknahes Feld
      | | Mittennahes Feld
      |_|_| Mittenfeld
      H H H H .....
      H T T T T...
      H T A A A
      H T A M A

      Ein Eckfeld kann nur auf einem einzigen diagonalen Weg von M aus erreicht werden. Es gibt 4 Eckfelder.

      Ein Ecknahes Feld kann von M aus auf drei verschiedenen Wegen erreicht werden. Es gibt 8 solche Felder.

      Ein Mittennahes Feld kann von M aus auf vier verschiedenen Wegen erreicht werden. Es gibt 8 solche Felder.

      Ein Mittenfeld kann von M aus auf sieben verschiedenen Wegen erreicht werden. Es gibt 4 Mitenfelder.

      Summmiert man nun alle Wegmöglichkeiten aller äusseren "H"-Felder zu "M", so lautet das Ergebnis:

      4 * 1 + 8 * 3 + 8 * 4 + 4 * 7 =
      4 + 24 + 32 + 28 =
      56 + 32 = 88
      Korrigierte Antwort zu BAR-51 daher: 88.

      ... falls mir nicht jemand etwas anderes beweist :oops: . Die in der falschen Lösung angegebene Formel bezieht sich nur auf die Summe der Erreichbarkeiten der Felder im Inneren der Figur. Asche auf mein Haupt!

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von p. specht ()

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      Abt. BAR-52 ´Vertrackt´
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      Die vier größten Nummern in einer Menge von sieben Nummern haben den Mittelwert 10. Die vier kleinsten Nummern in der selben Menge haben den Mittelwert 5. Wie lautet die kleinstmögliche Summe der sieben Zahlen in der Menge?

      Abt. BAR-53
      =========
      Goldschmiedin Goldie lötet einen flachen "Ring" aus trapezförmigen, beinahe rechteckigen kleinen Goldplättchen. Die Plättchen sind symmetrisch abgewinkelt in einem Winkel von 88 Grad gegen die Unterkante. Wieviele Plättchen braucht Goldie für ihren Ring?
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      Lösung zu BAR-52
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      Spoiler anzeigen

      Die sieben Nummern in der Menge bestehen aus vier kleinsten und vier größten Nummern minus jener Nummer, die offenbar in beiden Teilmengen doppelt enthalten ist. Da der Mittelwert der vier kleinsten Nummern 5 ist, ergibt sich die Summe der kleinsten vier Nummern zu 4*5 = 20, die Summe der vier größten Nummern (Mittelwert 10) zu 4*10 = 40.

      Gesucht ist also eine Nummer, die die größte der kleinsten vier, und die kleinste der größten vier ist. AUSWAHLREGEL: Existieren mehrere Möglichkeiten, dann sollte man die größtmögliche gemeinsame Nummer wählen, da sich die kleinstmögliche Gesamtsumme (- die gemäß Aufgabenstellung gesucht ist,) aus 20 + 40 minus dieser Nummer ergibt.

      Beginnen wir mit den Mittelwerten:
      Kleinste Vierergruppe: 5+5+5+5, nicht erlaubt, da in einer mathematischen Menge Elemente gleichen Wertes immer nur 1x vorkommen dürfen. Was also ginge?:

      3+4+5+6 ergibt erst 18, daher kann die gemeinsame Nummer nicht 6 sein. Daher 2 dazu;
      3+4+6+7 = 20
      2+4+6+8 = 20 ... 7 und 8 stehen also "unter Verdacht".

      Test auf die vier größten Nummern:
      10+10+10+10: nicht erlaubt (Menge!)
      9+10+11+12 = 22, also müsen 2 Punkte weg, die 9 kann es also auch nicht mehr sein!
      8+9+11+12 = 20 oder
      7+10+11+12 = 20, beide möglich, unser Verdacht bestätigt sich: Die gemeinsame Nummer ist 7 oder 8

      Nun greift die obige Auswahlregel:
      Antwort: Die kleinstmögliche Summe der Elemente der Menge, die die angegebenen Bedingungen erfüllt, ist 20+40 - 8 = 52. (Mit 7 wäre es 53, aber das ist nicht die kleinstmögliche Summe!).
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      Abt. BAR-54 ´MATHE´
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      In Anlehnung an BAR-51: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß jemand im nachstehenden 9 x 9 - Quadrat das Wort ´MATHE´, beginnend beim M genau vertikal abwärts bildet, wenn alle Möglichkeiten der Wortbildung gleich wahrscheinlich sind?

      Quellcode

      1. E E E E E E E E E
      2. E H H H H H H H E
      3. E H T T T T T H E
      4. E H T A A A T H E
      5. E H T A M A T H E
      6. E H T A A A T H E
      7. E H T T T T T H E
      8. E H H H H H H H E
      9. E E E E E E E E E
      Gruss :evil:

      P.S.: BAR-53 ist auch noch offen! (Sommerloch?)
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      Lösung zu BAR-54 ´MATHE´
      -------------------------------
      Spoiler anzeigen

      Unter Anwendung der selben Methode wie in BAR-51 gelange ich zu folgendem Ergebnis:
      Es gibt 324 Möglichkeiten, das Wort MATHE in geraden oder diagnonalen Sprüngen zu bilden. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für den gesuchten Fall: 1/324
      Da die Durchzählung eher vertrackte Glückssache ist, bestehe ich aber lieber nicht darauf. Wer will, kann´s ja nachprüfen.


      P.S.: Die Korrektur der offiziellen Lösung zu BAR-51 stimmt wahrscheinlich auch nicht: Das ecknahe Aussenfeld weist 4, nicht 3 Möglichkeiten auf, es zu erreichen, die Anzahl wäre demnach 96 statt 104 oder 88. Teuflisch, das Ganze!