Lösung zum nachgetragenen KAR-28-Rätsel
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Gesucht ist die kleinste positive Ganzzahl N, für die die Quadratwurzel aus (2016 * N) ebenfalls eine Ganzzahl ist.
Sind M,N ganze Zahlen, dann wird hier nach dem N gefragt, das die folgende Gleichung erfüllt:
M = Sqrt(2016 * N)
Durch raten und probieren kommt man unter N=20 recht schnell zur Lösung.
Uns interessiert hier aber ein allgemeines Verfahren für Probleme dieses Typs (- sprich: Es muss ja nicht immer 2016 sein!).
Die Quadratwurzel werden wir am besten durch Quadrieren los:
M^2 = 2016 * N
Links steht nun eine (natürlich auch ganzzahlige) Quadratzahl.
Zerlegen wir 2016:
2016 / 2 =
1008 / 2 =
504 / 2 =
252 / 2 =
126 / 2 =
63 / 3 =
21 / 3 =
7 / 7 =
1.
Mit anderen Worten: 2016 = 2^5 * 3^2 * 7^1
Durch Multiplikation mit dem N soll eine Quadratzahl herauskommen, nämlich M^2.
Quadratzahlen haben die Eigenschaft, dass alle Faktoren ihrer Primfaktorenzerlegung geradzahlige Exponenten haben.
Das war bei der Zerlegung von 2016 bei 2 und bei 7 nicht der Fall. Mit einem geeigneten N multipliziert lässt sich das aber beheben:
Das kleinstmögliche N hat somit die Zerlegung 2^1 * 7^1 (=14), und das bringt
das M² auf die Quadratzahl 2^6 * 3^2 * 7^2 (= 64 * 9 * 49 = 28224)
Das einfache M ist dann laut Formel die Quadratwurzel daraus, nämlich M = 168.
Prüfen wir das nach: Probe mit N = 14:
Sqrt(2016 * 14) = Sqrt(28224) = 168 ... ganzzahlig, hurra!
q.e.d.
P.S.: KAR-30 und KAR-31 sind noch offen!